【摘要】 在地心坐標系中定義地球橢球面的基礎上，給出了地理空間的數學定義。根據拓撲學中的同胚映射，覆蓋空間等理論，推導了制圖區域、地圖投影、制圖物體及其在橢球面和地圖平面上的定位等概念，通過對地圖符號平面定位的單一性與其對應的制圖物體性質多樣性的分析，揭示了同一平面位置上可以依制圖目的的不同而分別表示多種事物的性質或量值的基本原理，闡釋了對同一制圖區域進行多專題制圖的客觀條件和物理基礎。 【關鍵詞】 地心坐標系 地球橢球 地理空間 制圖區域 制圖物體 地圖符號 地理系統研究人類賴以生存與生活和影響所及的整個自然環境與社會經濟環境[1]。人類為了生存和發展的需要，必須以各種技術手段，采集和獲取地理空間的相關信息。現代測繪學，是信息科學的一個分支，是獲得物體的空間位置和屬性信息[2]。地圖作為空間信息的一種載體，它通過人們創設的地圖符號集合，能把制圖區域內復雜的空間存在壓縮為二維的簡單關系，從而使廣域空間內的自然現象和社會經濟現象的空間分布、地理特征和相互關系躍然紙上。二維地圖是人類認識上的飛躍，是人類原始思維向抽象化發展的結果[3]。地圖總涉及到地理空間、制圖區域和制圖物體等基本概念。在現行的大中專教材及有關地圖學文獻中，尚未見這些基本概念的數學定義，因而不能從理論的高度對其概括和闡釋。本文是筆者對地理空間、制圖區域、制圖物體數學定義的研究及其關聯的地圖符號的數學分析。 1 地理空間事物的橢球面定位 1.1 地心坐標系 以地球質心為大地坐標原點的坐標系，即地心坐標系。這種坐標系統是闡明地球上各種地理和物理現象，特別是空間物體運動的本始參考系。但長期以來，由于人類不能精確確定地心的位置，因而較少使用。目前利用空間技術等手段，已可在cm量級上確定它的位置，因此采用地心坐標系在當今既有必要性也有了可能性。現在利用空間技術得到的定位和影像等成果，客觀上都是以地心坐標系為參照系[4]。使用地心坐標系，在國際上已成為一種明顯的趨勢。 地球空間事物的定位，涉及地球的形狀和一定的坐標系。全球范圍內，可用地心大地坐標系和地心笛卡爾坐標系表示點的空間位置。 1.1.1 地球橢球 大地水準面包圍的地球形體比較接近真實的地球形狀，但仍是一個有100m起伏幅度的復雜曲面，不能用簡單的數學方程表示，更難以在此面上進行簡單而又精密的坐標和幾何計算[5]。為此，測繪科學中常以一個接近地球整體形狀的旋轉橢球代替真實的地球形體，這個旋轉橢球稱為參考橢球。在現代大地測量中，規定參考橢球是等位橢球或水準橢球，即參考橢球與正常橢球一致。一個等位旋轉橢球由四個常數定義，這四個常數常是赤道半徑a，地心引力常數GM，動力形狀因子J2，旋轉速度ω。考慮到便于利用GPS與國際兼容，我國建議采用參考橢球：a=6378137m；f=1∶298.257222101；GM=3986004.418×；ω=7292115×。根據這四個常數，可以得出一系列導出常數[6]。根據地球的扁率f，可以求出橢球短半徑b，從而可用數學方程表示一個已知長半徑a和短半徑b的橢球。 1.1.2 地心大地坐標系DL 地心大地坐標系是使地球質心作橢球中心，以過所求點c的橢球面法線與赤道面的夾角φ為緯度，以過c點的子午面與初始子午面的二面角λ為經度，以c點沿法線到橢球面的距離為大地高h，用c點的三個分量φ、λ、h表示其空間位置。地心大地坐標也即三維地理坐標系，記作DL。對于任何地球空間點c，總存在c=（φ、λ、h）∈DL|φ[0°～±90°]， λ∈[0°～±180°]，h∈[-H～+H]。已知地球橢球的長半徑a和短半徑b，可定義橢球面。 定義1 地球橢球面 對c∈（φ、λ、h）∈DL，存在c1=（0°，λ，O）， c2 =（0°，-λ，O），c3 =（90°，λ，O），c4=（-90°，λ，O）∧d1（c1，c2）/2=a∧d2（c3，c4）/2=b，若點集滿足： S={c|c=（φ、λ、h）∈DL，φ∈[0°～±90°]，λ∈[0°～±180°]，h=0} （1） 則稱S為以a為長半徑，b為短半徑的橢球面。若a，b分別為地球參考橢球的長、短半徑，則稱S為地球橢球面。 1.1.3 地心笛卡爾坐標系DK 以地心O為坐標原點，選擇一個以赤道平面上一組相互垂直的直線為X、Y軸，而以地軸為Z軸，這樣的坐標系稱地心笛卡爾坐標系，記作DK。若以地球參考橢球的長半徑a和短半徑b作常數，則地球橢球面也可定義。