摘要： 本文從數及其記數法的基本概念出發，辨析了與二進位制相關的幾個容易混淆的概念，指出序數概念的引入在近代數學中有重要意義，作為邵雍數學學派的數學基礎，先天易是數學史上第一個專門定義的序數體系，該序數體系在數學史上率先采用了二進位制記數法。先天易作為二進制序數體系這一事實在明清時期引起不同的反響，反對者認為它使易道淪落，大數學家汪萊則從P進制的角度論證它的優越性。本文最后還對近年來反對先天易與二進制有關的兩種典型觀點進行了剖析，指出其謬誤所在。

關鍵詞：先天易； 二進位制； 序數； 邵雍；汪萊

A research on the mathematics foundation in the primordial Yi

——on the primordial hexagrams' order and binary system

Abstract: Departing from basic concepts of cardinal numbers and their numbering orders， the paper differentiated and analyzed some concepts easy to be confused related to binary system， pointing out that the introduced concepts of ordinals played an important role in the development of modern mathematics. As the foundation of SHAO Yong's mathematics， the primordial Yi， in the history of mathematics， exhibits the first specially defined ordinal system， in the binary numbering method was used at the first time. Being a binary ordinal system， theprimordial Yi aroused different repercussions: opposers censured it debased Yi; While， departing from the angle of the P carrying system， WANG Lai， a great mathematician， proved its superiority. In addition， the paper also analyzed two typical viewpoints against the primordial Yi and binary system， to expose their fallacy. Keywords: the primordial Yi; binary system; ordinals; SHAO Yong; WANG Lai

第一節先天易是二進位體系

一、二進位制的定義

易與二進位制的討論，實際上是關于自然數記數法討論。

二進位制是最簡單、最基礎的計數方式之一。生活中對二進制的掌握與運用，只須有一定的同異判別能力即可，對智力水平的要求比十進制低得多。不能因為產品廣泛二進制邏輯最簡單、最基本的特性而將它神秘化。

什么是二進位制呢？首先要搞清楚的是：什么是自然數？

下面我們從自然數及自然數記數法的一般定義出發，進行說明。自然數兩種基本定義：一稱為基數定義，表示個數；一稱為序數定義，表示順序關系。

基數就是帶單位的數量，是相對直觀的概念，反映一種原始的抽象思維，記錄實物對象的重復量，離不開實物對象，只需數個數的水平，如結繩計數，尚不需形成整體意識，對心智比較也不需有過多的要求，就像兒童都有過認得一些零散的數（個數），但分不清大小的經歷一樣，在人類掌握排序概念以前，基數概念是最原始的數的概念。基數定義的自然數沒有排序功能，排序的概念則隸屬于自然數的序數定義。這是自然數的兩重天然屬性。一般認為，在19世紀下半葉之前，數學界對其中的區別并沒有清晰的認識。

順序關系是自然數序數定義的核心。對序數的認識和運用是人類智力水平的又一次飛躍。基數是實物對象的簡單影射，序數則擺脫了實物對象的約束，需要比基數更進一大步的抽象能力和比較能力，并有自覺的全域觀念。

任何用來表示順序的符號都是序數表示式，對使用者來說，都是自然數。如Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示順序，這時就屬于數的范疇，都是序數表示。甚至如座位三排五號也是序數，這種計數屬于自然數表示方式中的非位值進位制，它的位值用專用符號“排”和“號”來表示。可見，用來表示個數或序的符號都是自然數。

根據符號的內部結構，自然數的表示法可分為非進位制、特殊位值進位制和位值進位制。非進位制是自然數的最原始的表示法，如簡單結繩計數形式。特殊位值進位制是指使用了進位的概念但借助專用記號表示位值，沒有通用的位值概念。如上面提及的三排五號就是這種表示法，‘三’與‘五’是不同位上的值，這里使用了進位的概念，并借助專用符號‘排’來表示進位，而不是直接利用基本符號本身的位置關系來表示進位，因此稱為非位值進位制或特殊位值進位制。由于受專用進位符號的制約，這種表示法使用起來有明顯的局限性。古代的很多計數法如埃及、希臘、羅馬的計數法都屬于這類進位制。比如古希臘半島采用２７個字母計數法，從1-9用九個字母表示，10-90 再用另外九個字母表示，100-900用剩下的九個字母表示，這種笨拙的特殊位值十進制計數法一直延續到文藝復興前夕。

位值進位制是先進的表示法，顧名思義，直接利用基本符號本身的位置關系來表示進位，即“它用同樣的符號利用位置關系表示高位值”，因此稱為位值進位制。由于使用了位值的概念，位值進位制原則上可以把自然數推至無窮而不會出現邏輯困難。用十個基本符號來表示就稱為十進位制，用兩個基本符號來表示就稱為二進位制。

二、與二進位制定義相關的幾個容易混淆的概念辨析

由于所有數系的基礎都是對象的可數性或有序性即自然數，因此自然數記數法隨著數系的擴充，依次可以自然而然地成為整數、有理數、實數和復數的記數方式。對同一個數系來說，不同的記數方式是等價的，數系與記數方式之間不存在相互約束的關系。

在討論周易與二進位制這個問題時，二進制算術是一個常出現的提法，但它是一種概念不清的錯誤提法，因為算術法則是來自數系自身的邏輯內涵的一種操作規定，只與數系自身有關，與記數法則毫無關系。采用同樣的記數法，只須對數系的定義進行一些簡單修改，它的算術就會面目全非。可見，在討論是否使用過二進制記數法這一問題的時候，把四則運算作為評判條件是錯誤的。

另外，有人以是否存在用二進制表示的小數作為二進制發明的判據，顯然也是錯誤的，因為記數法與數系之間不存在相互約束的關系，小數的發明遠在十進位制之后就是一個例子。

值得一提的還有二進制的基本符號問題。二進制記數法的基本符號只需且只能有兩個基本符號，而這兩個符號可以是約定的任意字符，０和１僅僅是符合要求的任意符號組合中的一組而已，這也是很容易引起想當然的誤會。也許是因為我們對阿拉伯數字太熟悉了的緣故，常常會誤解只有寫成0和1形式的符號系列才是二進位制形式。其實，為了避免與十進制阿拉伯數字符號混在一起，運用中更多的是采用T(true)和Ｆ(false)或L(left)和R(right)作為基本符號。

三、先天易是二進位制體系

首先，讓我們來一下成為二進位制的條件是什么？

１．必須符合自然數定義，即必須是用來表示數量關系或順序關系的符號體系。

２．基本的符號是不是只有兩個？

３．必須符合位值進位制的定義，即是否“用同樣的符號利用位置關系表示高位值”，而不是另外引入專用進位符號？

以上三個條件是一個符號體系稱為二進位制體系的充分條件。現就上述條件逐一討論。

１．邵雍先天易是用來表示抽象順序關系的符號體系。

這一點取得了幾乎完全的共識，看到圖就知道，這是非常顯然，無法辯駁的，幾乎所有的反對者都承認這一點。現最流行的觀點是西方漢學家葛蘭言提出來的，他斷言是碰巧而不是有意排出來的抽象順序，那也許是他沒有閱讀原著的結果。因為伏羲卦圖稱為伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，圖名為次序，有什么理由說他們不是主觀上有意的排序？自邵雍以來，幾乎所有的易書對此都做了或繁或約的闡述，現舉朱熹對伏羲六十四卦次序圖的說明如下:

朱熹答袁樞曰：

若要見得圣人作易根原，直截分明，不如且看卷首橫圖，自始初只有兩畫，漸次看起，以至生滿六畫之后，其先后多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來，圣人只是見得分明，便只依本畫出，元不曾用一毫智力添助。蓋本不繁智力之助，亦不容智力得以助于其間也。 大家注意其中的“其先后多寡，既有次第，而位置分明不費詞說，于此看得方見六十四卦全是天理自然挨排出來”，說的就是先天易圖排列法則是依照大小多寡一個挨一個地排出來的，強調了其中的數(序號)意義。

２．邵雍先天易圖只用兩個基本符號即陰與陽來表示。

這是主要誤會所在，誤以為必須是０和１才是二進制，甚至認為必須用1代替“—”、0代替“--"才能稱為二進位制。盡管北宋以來有不少古代學者對二進位制的簡單換算性質作了敘述，但與其它計數方式的換算不是二進位制自身是否成立的前提。

３．邵雍先天易圖無須引入專用進位符號，直接利用陰陽爻的相對位置表示位值，也就是說，利用了位值的概念。以往幾乎沒有人注意到這個問題。

可見，邵雍先天易是用“—”和“- -"這兩個基本符號構建的序數體系，二進位制記數法是先天易的邏輯基礎。

第二節先天易是專門定義的抽象數

我們知道，中國數學史所討論的基本上都屬于算術范疇，在古代被稱為算學，即布算之學，重于技巧。而中國古代數學是專指邵雍為代表的傳統，即通過對抽象數的研究來探尋宇宙萬事萬物的內在邏輯。俗言中心中有數、定數就是這個數。伊川說：“數學至康節始入理也。”《四庫全書提要》評述道：“物生有象，象生有數，乘除推闡，務完造化之源者，是為數學。”就是說：主張物的產生必有象為先導，象的產生必有