【摘要】 用Logistic回歸分析方法對(duì)一定劑量的農(nóng)藥空間中昆蟲(chóng)的擊倒率達(dá)50%所需的時(shí)間作出估計(jì)。

【關(guān)鍵詞】 Logistic回歸分析 擊倒率 劑量水平

Application of Logistic Regression Analysis in Insect Toxicology

Abstract Through Logistic regression analysis， the time for the 50% knocking down rate of insects with certain dose of pesticide has been estimated.

Key words Logistic regression analysis; knock down rate; dose level 1 問(wèn)題的提出

假定一只昆蟲(chóng)被置放在可能導(dǎo)致其擊倒的農(nóng)藥的空間中，令T為該農(nóng)藥擊倒昆蟲(chóng)的藥劑量的臨界點(diǎn)值，即極小擊倒劑量水平，則當(dāng)劑量水平高于T時(shí)，該昆蟲(chóng)將被擊倒；當(dāng)劑量水平低于T時(shí)，該昆蟲(chóng)將存活。

由于各個(gè)昆蟲(chóng)對(duì)藥劑的適應(yīng)性以及自身遺傳性等多方面因素的差異，同一種昆蟲(chóng)的不同個(gè)體的值是不完全相同的，為一隨機(jī)變量。當(dāng)我們把一大堆昆蟲(chóng)置于有某種農(nóng)藥的空間中時(shí)，T的分布為正態(tài)分布、Logistic分布或極值分布等。有實(shí)際價(jià)值的問(wèn)題是求出T的具體分布或分布參數(shù)。

然而對(duì)每個(gè)個(gè)體而言，T值是難于觀測(cè)到的。因?yàn)榧俣▽⒁恢焕ハx(chóng)置于一給定藥劑量水平的空間而它未被擊倒時(shí)，那么我們可以知道T將大于該給定藥劑量水平。而當(dāng)昆蟲(chóng)接受了這給定藥劑量水平的藥物后，臨界點(diǎn)值將發(fā)生變化；或者昆蟲(chóng)變得體弱了，從而使臨界點(diǎn)值T將有所降低；或者昆蟲(chóng)產(chǎn)生了抗藥性，從而使臨界點(diǎn)值T提高了。

總之，臨界點(diǎn)值T將發(fā)生改變，于是該昆蟲(chóng)已經(jīng)不能被用于下一步實(shí)驗(yàn)了。

反之，若一只昆蟲(chóng)置于一給定藥劑量水平的空間之后擊倒了，那么這說(shuō)明臨界點(diǎn)值T小于或等于該給定藥劑量水平，T究竟多大仍不知，但該昆蟲(chóng)已經(jīng)擊倒，同樣也不能用于進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)之中了。

因此，隨機(jī)變量T是不可觀測(cè)到的，人們只能觀測(cè)到一只昆蟲(chóng)對(duì)各種特定劑量水平農(nóng)藥的反應(yīng)，或者擊倒或者未擊倒，于是我們可引進(jìn)隨機(jī)變量Y：Y=1 該昆蟲(chóng)被擊倒0 該昆蟲(chóng)未被擊倒 其參數(shù)π(x)=P(Y=1)=P(T≤x) 為擊倒概率。

在昆蟲(chóng)毒理學(xué)中，人們一般研究50%個(gè)體的擊倒率及其對(duì)應(yīng)劑量水平x。為此常將應(yīng)試?yán)ハx(chóng)分成若干組，每個(gè)組處理的昆蟲(chóng)為n，而不同組昆蟲(chóng)分別配置不同劑量水平x，并觀測(cè)得到其中未擊倒個(gè)數(shù)為y。我們的目標(biāo)是建立擊倒比例在劑量水平x條件下的數(shù)學(xué)模型，其中x常取對(duì)數(shù)尺度。

盡管臨界點(diǎn)值T的分布連續(xù)，但由于其分布的不可觀測(cè)性，我們將用可觀測(cè)的離散型隨機(jī)變量Y去代替對(duì)T的研究，并希望由此估計(jì)出T的分布參數(shù)或分布的各分位值，特別是中位數(shù)。

2 模型的建立

我們現(xiàn)在用Logistic回歸方法來(lái)處理該種問(wèn)題。

Logistic分布函數(shù)為： F(x)=P(T≤x)=1-11+ex 其分布密度為： f(x)=F′(x)=ex(1+ex)2 此時(shí)該分布的p(0

<1)分位值XP=LNP1-P， p在實(shí)踐中即表示我們所關(guān)心的事件的發(fā)生的概率，如昆蟲(chóng)的擊倒率，用觀測(cè)頻率可作出估計(jì)。< p>

因?yàn)閜∈(0，1)，不能取到一切實(shí)數(shù)。如果把p換成lnp1-p，記Logit p=lnp1-p ，則Logit p∈(-∞，+∞)。Logistic回歸方法就是通過(guò)建立Logit p與x1，x2，…，xk之間的線形模型來(lái)研究p與x1，x2，…，xk之間的關(guān)系。樣本回歸方程為L(zhǎng)ogit p=lnp1-p=a+b1x1+b2x2+…，+bkxk ，可解得p=ea+b1x1+b2x2+…，+bkxk1+ea+b1x1+b2x2+…，+bkxk 。 現(xiàn)在我們要研究的是當(dāng)昆蟲(chóng)被放置在不同的農(nóng)藥劑量水平的空間中時(shí)，昆蟲(chóng)的擊倒率與劑量水平之間的關(guān)系，并且重點(diǎn)研究擊倒率達(dá)到50%所需時(shí)間，因?yàn)檫@個(gè)時(shí)間常常用來(lái)度量該農(nóng)藥的藥效，并在昆蟲(chóng)毒理學(xué)中有著重要的意義。

某市白蟻防治所就某種防治白蟻的農(nóng)藥在不同劑量下，對(duì)白蟻的擊倒率進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。

實(shí)驗(yàn)中每個(gè)試驗(yàn)瓶投入20只白蟻，在不同劑量的該農(nóng)藥水平下觀測(cè)每只白蟻被農(nóng)藥擊倒的時(shí)間，并由此計(jì)算不同時(shí)間與對(duì)應(yīng)的擊倒頻率之相應(yīng)數(shù)據(jù)，最終求出：

① 各不同劑量農(nóng)藥的白蟻擊倒時(shí)間

② 相應(yīng)的區(qū)間估計(jì)（取置信度為95%）。

令擊倒時(shí)間為t，擊倒率為p，記x=lgt，y=lnp1-p，可建立擊倒時(shí)間與擊倒率之間的樣本線性回歸關(guān)系：y=a+bx。經(jīng)驗(yàn)表明這樣的模型是較合乎實(shí)際的。事實(shí)上我們的計(jì)算結(jié)果表明絕大多數(shù)回歸關(guān)系的相關(guān)系數(shù)r均達(dá)到90%以上。

在y=a+bx中令y=0即p=0.5=50%，相應(yīng)地可求出x，并由此得到t0.5=10x。這個(gè)時(shí)間即為在某種藥劑水平下，50%的白蟻被擊倒所需時(shí)間。

記 lxx=∑n=i=1(xi-)2 ，lyy=∑n=i=1(yi-)2 ，σyx=l2yy-b2l2xxn-2， 這樣可得到 : a+bx0.5±tσyxn， 其中x0.5=-ab（y=0所對(duì)應(yīng)的x的值）。再由 所對(duì)應(yīng)的x求出相應(yīng)的t，從而得到相應(yīng)的區(qū)間估計(jì)。這樣我們就對(duì)20只白蟻在接受某農(nóng)藥劑量水平后的擊倒率與所需時(shí)間建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

在對(duì)數(shù)據(jù)的處理中，為了計(jì)算過(guò)程的合理性，我們可作如下約定：

① 在同一濃度水平下，多次重復(fù)的數(shù)據(jù)取平均值;

② 在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)，若20只白蟻全部被擊倒，則p=20+0.521=97.6%；若在某個(gè)時(shí)間點(diǎn)開(kāi)始有白蟻被擊倒，則上一個(gè)時(shí)間點(diǎn)的擊倒概率為p=0+0.521=2.4%。

下表為接觸5%的氯丹溶液后，20只白蟻在不同時(shí)間的擊倒個(gè)數(shù)。

投試時(shí)間檢 查 擊 倒 時(shí) 間11：3012：0015’30’45’13：0015’30’45’14：0015’30’45’9：0001137991418〖〗161619209：000031414681213920—9：000134911121317121920—

為了減小誤差，我們對(duì)各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的白蟻的擊倒個(gè)數(shù)取平均值，計(jì)算過(guò)程如下。

擊倒時(shí)間

（min）150180195210225240255270285300315330345擊倒個(gè)數(shù)0237383203343935347341344359320x=lgt2.1762.2552.2902.3222.3522.3802.4072.4312.4552.4772.4982.5192.538p0.521130760215131730920712476041611115596020.521y=lnp1-p3.7143.3672.0241.8720.6930.2680.2010.3361.2850.7691.0124.0783.714

樣本回歸方程y=a+bx，y=lnp1-p， x=lgt 經(jīng)擬合，所求回歸直線方程為 y=-49+20.479x 由此可計(jì)算出i的值，如1=49+20.479×2.176=-4.438 ∑(yi-i)2=6.749，σyx=∑(yi-i)2n-2=0.783 i :a+bx0.5±tσyxn， x0.5=-ab 現(xiàn)在 x0.5=2.393 ，t0.5=10x0.5=247.17 :0±1.96×0.78313=0±0.426 當(dāng) =0.426 時(shí)，x=lgt=2.414，t=259.61 當(dāng) =-0.426 時(shí)，x=lgt=2.372，t=235.45

于是我們可以得到該實(shí)驗(yàn)所確定的白蟻在農(nóng)藥為5%濃度下50%擊倒率所需時(shí)間的區(qū)間估計(jì)為［235.45，259.61］（單位：min）。同理可求出其它濃度下50%擊倒率所需時(shí)間的區(qū)間估計(jì)。

3 討論

在生物統(tǒng)計(jì)范疇內(nèi)處理該問(wèn)題還有一種比較常用的方法——Probit方法。該方法將擊倒時(shí)間分鐘換算成擊倒時(shí)間對(duì)數(shù)，將擊倒白蟻數(shù)換算成擊倒百分率，再換算成擊倒百分率的機(jī)率值，然后以擊倒時(shí)間為橫坐標(biāo)，機(jī)率值為縱坐標(biāo)，將各點(diǎn)連接成一直線與機(jī)率值5虛線相交，交點(diǎn)即為擊倒50%個(gè)體的時(shí)間對(duì)數(shù)值，再把這個(gè)時(shí)間對(duì)數(shù)值換算成相應(yīng)的時(shí)間。

與Probit方法相比，Logitic回歸方法有一定的優(yōu)點(diǎn)。首先，它比較簡(jiǎn)單；其次，它可用來(lái)分析多因素水平對(duì)事件發(fā)生概率的影響，而Probit方法只能適用于單因素的情況。因此，Logitic方法具有更廣的適用范圍，在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。