作者：付詩祿 但琦 余文革 楊秀文

【摘 要】培養研究生的創新能力和解決實際問題的能力是研究生教育的根本出發點和落腳點，本文結合數學基礎課的教學實踐，探討在教學過程中如何改革教學方法，培養研究生的創新能力，并給出了一些具體的作法。

【關鍵詞】教學方法 創造性思維 創新能力

培養研究生的創新能力和解決實際問題的能力是研究生教育的根本出發點和落腳點，在研究生教學中，“教”不是傳授知識，“學”也不是獲取外部世界已存在的客觀目標，“教”是啟發和點撥學習主體，讓學習者從實際出發，獨立地去反思批評已有的知識結構，去檢驗、開拓、證實和揚棄它們。這就是說，要實現學習方式的多元化，比如開放性學習、項目式學習、研究型學習等。而傳統教學更多地關注教師如何教，忽視學生的學，信息交流的方式是一種由教師到學生的單向交流模式，過分重視知識的灌輸，而忽視科學精神、科學方法的培養。為了改變這種“復制有余，創新不足”的現狀，我們在《矩陣分析》和《應用泛函》等課程的教學過程中，盡量從學員現有數學基礎出發，對如何培養、提高研究生的創新能力方面做了一些有益的嘗試，取得了一定的成效。

一、通過講座和史料，強調學習和掌握現代數學的重要性。

在教學過程中，通過有選擇地插入一些小型專題講座及相關的數學史的方式，介紹和強調學習和掌握現代數學的重要性，既活躍了課堂，又把數學課從枯燥的公式推導中解放出來，同時激發了學員的學習積極性，拓寬相關的知識面。例如介紹名人對數學的評價：“數學是精密科學的語言”，“數學是維持宇宙持續的法則”，“高科技的本質就是數學”，“一門學科只有用到數學時，它才能達到完美的境界”等。介紹課程內容相關的數學史，說明現代數學理論和方法的發生、發展過程，讓學員知道現代數學不是純思維的結果，不是空中樓閣，而是起源于實踐，又服務于實踐，是以各種較為具體且較早出現的各種數學分支為基礎，通過進一步概括、抽象和發展而建立起來的新分支。如18 世紀30 年代，法國數學家伽羅瓦在解決“5 次和5 次以上的代數方程的根不能用其系數的有限次四則運算與方根運算組成的公式表示”的過程中，總結前人的經驗，開創性地建立了一套理論，它奠定了群論的基礎。簡單地介紹群論的思想及結果已廣泛地應用到現代化學、物理、幾何、拓撲、計算機科學等領域的情況，使學員覺得學有所用。根據授課情況，介紹一些應用所學知識去解決實際問題的相關文獻，組織學員研讀、討論、激發學員的求知欲，培養學員的科研能力。例如根據近幾年我院參加全國大學生數學建模競賽取得較好成績的情況，在講解相關知識時，適當地介紹一些近幾年數學建模競賽的情況和競賽的數學模型，以此說明現代數學知識的實際應用。

二、采用靈活多樣的教學方法

1．在教學中采用比較教學法、案例教學法，開展討論式教學。

創新人才的培養要求課程教學要從傳統的獲取知識轉變到培養能力，即加強對研究生批判性、創造性思維能力和提出、分析、解決、評價問題等能力的培養。這就要求對傳統的教學方式進行改革，改變傳統的傳授式教學方式，積極推進自主學習、專題討論、團隊工作等參與式教學方法。不僅要讓研究生掌握現有知識，更要讓他們懂得這些知識是如何獲得的，使研究生在掌握現有知識的同時，努力去發現新知識；不僅要讓研究生學會分析問題，更要讓他們對所研究的問題進行綜合歸納和比較，從而學會如何發現新問題、尋找解決問題的突破口，演繹出新的知識和結論。激發研究生自己去探索知識的奧秘，以增強創新精神，提高創新能力。

通過多樣化的教學方法，引導研究生學員進行自主學習和研究，發揮他們作為學習主體的能動性，培養創新能力。為了提高教學效果，我們應盡可能采用現代教育技術手段，加強教學的直觀性、生動性和積極參與性，在教學中采用比較教學法、案例教學法，開展討論式教學。以更豐富的形式呈現教學內容，擴充信息量，調動學員的學習興趣。我們在《矩陣分析》和《應用泛函》等課程的教學過程中對數學課程采用研究型教學法，并從科研的角度研究問題，探索解決問題的途徑，激發學生的學習興趣，培養學員的創新能力，改變你講我聽的“傳授式”的教學模式，采用傳授式與討論式結合的教學模式，引導學生參與教學過程，增強學習的主動性，根據課程特點，針對不同的教學內容靈活采用理論教學法、案例式教學法和“問題中心”教學法，在教學實踐中，盡量從學員現有數學基礎出發，從復習高等數學、線性代數等有關問題入手，通過比較、分析、引申，先引入有關基本內容，在展開這些現代數學的理論和方法時，不過分強調其嚴密性、系統性，而是現代數學的概念、思想方法、結果和應用。有選擇地介紹一些基本結果及其證明思路（案例教學法），而對于證明的細節和某些章節的內容鼓勵學員自學和討論，培養學員的學習能力。例如在討論距離空間和賦泛線性空間的極限的性質時，對于其證明細節與高等數學中的極限證明類似，因而不作重點，而對于將全空間中的緊性、完全有界性、范數的計算等問題化作單位球面上的問題來處理的證明則著重介紹。在泛函中，學習壓縮映象原理和不動點理論后，我們采用討論形式，討論針對具體問題構造具體的壓縮映象算子的方法，讓學員用它來解決高數中的隱函數存在定理的證明；用來討論常微分方程中的解的存在唯一性；用來討論積分方程中的解的存在唯一性等。

2．采用研究式教學，鼓勵研究生寫研究報告。

在教學過程中，針對教材的一些知識點，不斷地提出一些有關的尚未解決的一些問題或一些重要理論、方法的應用，引導學員有意識地進行科學研究，提高他們的創新能力，這方面每年都有部分學員寫出了高水平的研究論文。

在《矩陣分析》和《應用泛函》的教學中還強調了開展課堂討論的重要性和必要性，課程伊始就給全體學員提出了兩個中心思考題（討論題）：

（1）如何將高等數學和線性代數中的基本概念和運算及定理進一步推廣？《矩陣分析》和《應用泛函》中哪些概念、結果與高等數學和線性代數有聯系？如何聯系，你能否作出自己的創新？

（2）如何應用所學的《矩陣分析》和《應用泛函》的知識？要求學員在聽課時注意教員對這個問題的分析與講解，在學習過程中注意思考和收集這方面的資料，在授課過程中安排這兩個專題的討論，課程結束時，要求對這兩個專題寫出研究報告。討論式的教學方法極大地活躍了課堂教學中的學術氣氛，使學員能活學活用，提高了他們的創新能力，在近幾年的教學實踐中收到了較好的效果。 三、鼓勵研究生學員積極參與和自主開展課題研究

科學研究是培養創新精神和實踐能力的一條重要渠道，要為研究生創造更多的從事科學研究的機會。一方面，積極鼓勵研究生多參與老師承擔的科研項目。在老師的指導下，進行文獻檢索、論文選題、科研項目的申報和參與是老師指導研究生的主要途徑，通過這些手段豐富學生的專業基礎知識，使其掌握學科前沿動態，提高知識運用能力和創新思維能力。經過反復的訓練，研究生能夠逐漸培養成嚴謹、清晰的科研思維。對于課題的創新價值的判斷都有很大的提高。另一方面，鼓勵學員積極爭取研究生科研課題專項經費，使研究生在自己學習和研究中形成的課題通過申請、審核而得以確立，從而可以自主地開展研究實踐，這為他們今后獨立自主地開展課題研究奠定了知識和能力基礎。在積極主動的參與過程中，提高學員的創新能力。再一方面，要鼓勵研究生利用各種機會開闊視野，要求他們積極參加一些相關學科及交叉學科的學術活動，特別是一些國內知名學者的學術報告，并盡可能創造條件讓他們參加國際學術會議，走向國際交流的舞臺。濃厚的學術氛圍可以使碩士生從一開始介入科研工作就養成熱愛科研和學術的習慣，能充分調動他們的積極性和創造性。良好的學術交流習慣是良好學術氛圍的重要表現形式。通過這些學術活動極大地提高了他們的研究信心、熱情和創造力，使研究生可迅速進入學術前沿進行研究。

四、注重應用性，培養研究生用現代數學工具解決具體問題的能力。

在工科研究生中開設現代數學基礎的著眼點是“應用”，課程的目標不但要使學員知道這些數學分支在工程技術中已有的“應用”，而且要培養學員應用這些知識的技能，即學會這些數學知識的“應用”。工科研究生學習了現代數學理論后，能否用它解決實際問題，也就是“是否有用”及“會不會用”的問題必須解決。為此，我們特別注意收集矩陣分析和泛函分析在工程技術領域及應用數學其它分支中的應用，將這些應用介紹給學員，既擴大了知識面，也增強了他們的學習積極性，培養了他們創造性思維方式。例如給學員介紹工程技術中應用廣泛的變分法，指出它就是泛函的極值問題，給學員介紹現代偏微分方程中Hilbert方法，指出它就是以泛函分析為基礎，以Hilbert 空間為框架，其中的廣義函數就是特殊的Hilbert 空間中的有界線性泛函，有限元法是以泛函為理論基礎的。學習了連續算子普理論后，用它來解決線性積分方程的求解問題，并讓學員學會了一類積分方程的求解方法。這樣讓學員看到了現代數學在解決實際問題中的強大威力和應用的廣泛性。同時鼓勵他們參加研究生數學建模競賽，讓他們親身實踐如何應用所學的知識去解決實際問題，去年我們指導的兩個研究生隊都獲得了國家二等獎。

五、向研究生講授一點數學與猜想，培養研究生的創造性思維。

科學巨匠牛頓指出：“沒有大膽的猜想，就作不出偉大的發現”。數學猜想是指依據某些已知事實和數學知識對未知量及關系所作的一種似真的推斷，是數學研究的一種常用的科學方法，又是數學發展的一種重要思維方式，是科學假說在數學中的具體表現。數學猜想常常是數學理論的萌芽和胚胎，它往往是在數學發展到積累了大量資料，需要進行理論整理，探索其理論內部的矛盾規律這一階段上產生出來的。

為了在研究生教學中，培養學生的創造性思維，我常常結合有關內容，培養學生的猜想意識，比如我們在講矩陣序列、矩陣級數的收斂性時，常常是先讓同學們回憶在高等數學中相關級數收斂性的一些結論，然后對矩陣序列、矩陣級數的收斂性作一些猜想，再逐步推導其正確的結論。這樣不僅能加深學生矩陣序列、矩陣級數的收斂性定理的印象，而且培養了學生的猜想意識。

數學中有許多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費馬猜想、黎曼猜想及介紹希爾伯特在本世紀的23 個猜想和它對“泛函”及“代數”方面的一些猜想等。向研究生介紹這些猜想的證明歷程無疑是培養創造性思維的典范，如當1993 年英國數學家懷爾斯宣布它證明了300 多年來未解決的難題——費馬猜想而轟動世界后，幾乎每年在研究生教學中都專門安排時間介紹費馬猜想被證明的發展歷程。力圖向他們展示這一重要猜想的證明是如何經過歸納、類比等產生、發展過程，對開闊學生的眼界、培養學生的創造性思維大有裨益。

總之，通過我們的教改實踐，證明了研究生學員從現有知識出發，也能學習和掌握現代數學的基礎理論，增強創新能力。如何提高工科研究生的現代數學素質，增強他們的創新能力是擺在我們面前的一個十分重要的教學任務和探討課題，也是值得我們永遠研究的課題。

1 何德忠、方禎云、張素荷.研究生創新能力培養的探索與實踐［J］.中國高教研究，2004（1）：28～30