論文摘要：在HJM框架下，利用鞅方法等隨機(jī)分析工具，考慮了與債券期貨價格相關(guān)聯(lián)的回望型外匯重置期權(quán)的定價問題，并得到了此類期權(quán)的定價公式。

論文關(guān)鍵詞：框架，外匯期權(quán)，重置期權(quán)，鞅

1市場模型及預(yù)備知識

考慮一個連續(xù)交易的的完全金融市場，交易時間為 。在概率空間 中，W為概率空間上d維標(biāo)準(zhǔn)布朗運動．在上述概率空間中，HJM框架下的遠(yuǎn)期利率模型為：

匯率過程所滿足的微分方程為：

其中k {d，f}(d代表本國，f代表外國)， 為k國的遠(yuǎn)期利率， 和 為取值于R的有界函數(shù)， 和 為取值于 的有界函數(shù)，“ ”代表 上的歐氏內(nèi)積， 為t時刻的匯率，表示一單位的外國貨幣可以轉(zhuǎn)化為 單位的本國貨幣。

定義U時刻到期的k國零息票債券在t時刻的價格為：

單位的k國貨幣的銀行存款在t時刻的價值為 ，其中 為t時刻k國的即期利率。以k國貨幣計價，U時刻到期，T時刻交割的零息票債券的遠(yuǎn)期價格和期貨價格分別記為 和 ，且

則由 引理可得：

其中 ，

引理 ：以k國貨幣計價的零息票債券的價格 在k國測度 下滿足微分方程：

0(3)

在本國概率測度 下，匯率過程滿足的微分方程為：

(4)

對任意關(guān)于 可測的隨機(jī)變量X，在本國概率測度 和外國概率測度 下有如下關(guān)系：

(5)

一單位零息票債券的遠(yuǎn)期價格 和期貨價格 滿足如下關(guān)系：

(6)

引理 0：在概率空間 中，對于任意時刻t ，當(dāng)Random-Nikodym導(dǎo)數(shù)滿足如下法則：

(7)

時，就稱與本國概率測度 等價的新概率測度 為遠(yuǎn)期鞅測度.

引理 ：任意X和Y，設(shè) 為它們的均值， 為它們的方差，則X的概率分布為：

(8)

2新型外匯重置期權(quán)定價

與債券期貨價格相關(guān)聯(lián)的外匯重置看漲期權(quán)在到期日時刻的收益可以分別表示為：

其中敲定匯率 和障礙價格 以本國貨幣計價，

定理1：定零息票債券的到期日為U，期貨合同的交割日期和該期貨期權(quán)的的執(zhí)行日均為T，則與債券期貨價格相關(guān)聯(lián)的回望型外匯重置看漲期權(quán)在時刻t=0時的定價公式為：

證明：由引理1的(5)可得：

則引理 的(9)則可變?yōu)椋?/p>

所以：

令 ，由Girsanov定理可知存在如下關(guān)系：

由引理2可知： 所以 由(6)式和 可得

由(4)，(5)，(7)和 引理可得：

所以

+

所以

+ (15)

令

把(15)代入 ，把(14)代入 ，可推出：

由Girsanov定理可知：

在新的鞅測度 和 下 就就變形為：

令、

為了以后的計算方便，現(xiàn)定義以下記號： ；

當(dāng)t=0時，由引理3可計算出計算 ：

同理可算出 和 的值：

在零時刻，我們現(xiàn)在計算 的值

=

=

由引理3可知：

令 ，密度函數(shù) =

經(jīng)計算可得：

把 帶入到V中，即可得到定理1的結(jié)果。

2 Musiela M，Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling [M]，

3 Steven Shreve.Stochastic Calculus and Finance [M].Carnegie Mellon University.

4 Chen Songnan. Financial Engineering [M]Shanghai : FuDan University Pubilishing Company ，2002， 187~204，303~311.