戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（１６４６～１７１６）對數學有兩項突出貢獻：發明了符號邏輯和微積分。由于這兩項成就分屬不同的數學分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為研究萊布尼茨的數學思想、完整地理解數學史和科學發現的規律帶來不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。 一、符號邏輯：“通用數學語言” 萊布尼茨對數學問題的最早探索和最初貢獻是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構所謂的“通用語言”。這種語言是一種用來代替自然語言的人工語言，它通過字母和符號進行邏輯分析與綜合，把一般邏輯推理的規則改變為演算規則，以便更精確更敏捷地進行推理。（［１］，ｐ．８）或者說，“通用語言”是一套表達思想和事物的符號系統，利用這些符號可以進行演算并推出各種知識。在《論組合術》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要創設“一個一般的方法，在這個方法中所有推理的真實性都要簡化為一種計算。同時，這會成為一種通用語言或文字，但與那些迄今為止設想出來的全然不同；因為它里面的符號甚至詞匯要指導推理；錯誤，除去那些事實上的錯誤，只會是計算上的錯誤。形成或者發明這種語言或者記號會是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它。”（［２］，ｐ．１２３）在１６７９年９月８日給惠更斯的信中他又寫道，有一個“完全不同于代數的新符號語言，它對于精確而自然地在腦子里再現（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處。……它的主要效用在于能夠通過記號〔符號〕的運算完成結論和推理，這些記號不經過非常精細的推敲或使用大量的點和線會把它們混淆起來，因而不得不作出無窮多個無用的試驗；另一方面，這個方法會確切而簡單地導向〔所需要的〕結果。我相信力學差不多可以象幾何學一樣用這種方法去處理。”（［３］，ｐ．１５１～１５２） 綜合萊布尼茨零零碎碎的設想，他的宏偉規劃大體旨在創造兩種工具：其一是通用語言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現存語言的局限性和不規則性，使新語言變成世界上人人會用的具有簡明符號、合理規則的語言，規定符號的演變規則與運算規則，使邏輯演變依照一條明確的道路進行下去，進而解決所有可用語言表達的問題。 為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認作最根本的不可分析的符號；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯結等形式概念的設計。關于第一方面，萊布尼茨首次設想用數目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術中的乘或除來代替。他認為用這種數字的不同方式排列組合，進行各種運算，就可產生無窮多的復合概念。這一思想后來改進為以素數代表基本概念，而復合詞項即可借分解相應的數字成為它們的素數因子來加以分析。以“人是理智動物”為例，用素數“３”代表“動物”、“５”代表“理智”，則“人”即以“１５＝３．５”代表。為了更好地構設“通用語言”，萊布尼茨又以設想的“人類概念字母表”為語言詞匯基礎創制了一些邏輯符號，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來。 關于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以１６７９、１６８６、１６９０三個年代為標志劃分為三個階段。（［４］，ｐｐ．２７１～２７３） 第一階段，萊布尼茨改進從數字代替概念以其演算，代之以對普通命題經驗分析為基礎的代數邏輯。他以全稱肯定命題“ａ是ｂ”的形式開始，提出五條基本演算規則：（１）ａｂ是ｂａ（交換律）；（２）ａ是ａａ（重言律）；（３）ａ是ａ（同一原則）；（４）ａｂ是ａ或ａｂ是ｂ（化簡原則）；（５）如ａ是ｂ且ｂ是ｃ，則ａ是ｃ（傳遞原則）。以此為據，他證明了同一和包含兩個邏輯系詞之間的重要關系，即，如ａ是ｂ且ｂ是ａ，則ａ與ｂ是同一的。進而，他又提出四個定理：（１）如ａ是ｂ且ａ是ｃ，則ａ是ｂｃ；（２）如ａ是ｂｃ，則ａ是ｂ且ａ是ｃ；（３）如ａ是ｂ，則ａｃ是ｂｃ；（４）如ａ是ｂ且ｃ是ｄ，則ａｃ是ｂｄ。由此可見，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當完善和科學化，為邏輯的系統化打下了堅實的基礎。 第二階段，萊布尼茨用等式符號作系詞符號，借公式Ａ＝ＢＹ表述全稱肯定命題（Ｙ為一未確定的系數，用以修飾Ｂ而使Ｂ成為Ａ的一部分），同時提出雙重否定之為肯定，即“非非Ａ＝Ａ”，并由此演釋出一系列定理。為了進一步發展演算，萊布尼茨還試圖通過與屬性組合的關系，用代數方法來描述四個直言命題，甚至對四個直言命題的表示法提出了九個方案。 第三個階段，萊布尼茨最有價值的工作是羅列了十四個基本命題：（１）Ａ＝Ａ＋Ａ“＋”表示邏輯相乘，下同）；（２）如Ａ＝Ｂ且Ｂ＝Ｃ，則Ａ＝Ｃ；（３）如Ａ＝Ｂ且Ｂ≠Ｃ，則Ａ≠Ｃ；（４）如Ａ＝Ｂ，且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（５）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＜Ｂ，則Ｃ＜Ａ；（６）如Ａ＝Ｂ且Ｃ＝Ｄ；則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｄ；（７）如Ａ＝Ｂ，則Ａ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ；（８）Ａ＜Ｂ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｃ；（９）如Ａ＋Ｂ＝Ａ，則Ｂ＜Ａ；（１０）如Ｂ＜Ａ，則Ａ＋Ｂ＝Ａ；（１１）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＜Ｃ；（１２）如Ａ＜Ｂ且Ｂ＜Ａ，則Ａ＝Ｂ；（１３）如Ａ＜Ｃ且Ｂ＜Ｃ，則Ａ＋Ｂ＜Ｃ；（１４）如Ａ＜Ｂ且Ｃ＜Ｄ，則Ａ＋Ｃ＜Ｂ＋Ｄ。為適應邏輯相除，他又引進邏輯相減運算，定義為：如Ｂ包含在Ａ中且Ｃ包括除去內容Ｂ之外的整個Ａ的內容，則Ａ－Ｂ＝Ｃ。如前例“人＝動物＋理智”即可推為“人－理智＝動物”。 上述符號構設顯示，萊布尼茨的中心思想是致力于以符號表示普遍概念的“通用語言”和以代換法進行數學演算他自稱的“通用數學”。就今天的眼光看來，他實際上已經發現了符號邏輯的若干重要原則和定理，觸及到后由哈米爾頓所闡發的謂項量化問題，認識到在直言與假言命題之間的基本類比（即原因包含它的結果正如主項包含它的謂項），并且把握了邏輯相加的問題，甚至討論過非三段論的關系推理。因此，萊布尼茨實際上已探察到后來為布爾和施羅德所發展的邏輯代數的整個基礎。數理邏輯學家有沒有看過萊氏的著作，知道不知道萊氏的計劃，但所作的研究大體上都是沿著萊氏所期望的方向進行的。”（［５］，ｐ．１０）所以，整個數學界都一致公認他是數理邏輯的首創者和真正奠基人。 萊布尼茨的符號數學研究在生前沒有公布，結果使數理邏輯的發展延遲了一個半世紀。（［４］，ｐ．１１９）可他關于微積分的成果卻由于較早發表而惠澤數學界并引發一場爭論持久的歷史公案。 二、微積分：“理性的代數學” １６８４年萊布尼茨在萊比錫的《教師學報》（Acta Eruditorum）上首次發表了題為《關于求極大、極小和切線的新方法，也能用于分數和無理量的情形及非尋常類型的有關計算》（簡稱《新方法》）的文章。這是他關于微分計算要點的代表作，全文只有六頁。１６８６年萊布尼茨又在《教師學報》上發表了題為《論一種深邃的幾何學和不可分元分析以及無窮》一文。這是他最早發表的以討論積分學為主的文章，實際可看作《新方法》的續篇。 萊布尼茨把最初的微積分稱為求差的方法與求和的方法。他的基本思想是把一條曲線下的面積分割成許多小矩形與曲線之間微小直角三角形的兩邊分別是曲線上相鄰兩點的縱坐標和橫坐標之差。當這兩無限減小時，曲線上相鄰兩點便無限接近。聯結這樣兩點就得出曲線在該點的切線。這就是求差的方法。求差的反面就是求和。當曲線下面的矩形被分割得無限小時，矩形上面的那個三角形可以忽略不計，此時就用這些矩形之和代表曲線下的面積。 早在１６６６年，萊布尼茨就發現帕斯卡算術三角形與調合三角形之間存在著有趣的關系。（［６］，ｐｐ．２１６～２１７）在帕斯卡三角形中，任意一個元素既等于其上一行左邊各項之和，又等于其下一行相鄰兩項之差；而在調合三角形中，任一元素均是其下一行右邊各項之和，也是緊靠其上兩項之差。 算術三角形調合三角形 萊布尼茨在筆記中寫出了各階的差和微分： 自然數０，１，２，３，４，５，…ｙ 一階差１，１，１，１，１，１，…ｄｙ 二階差０，０，０，０，０，… 自然數平方０，１，４，９，１６，…ｙ 一階差１，３，５，７，…ｄｙ 二階差１，２，２，２，…ｄ（ｄｙ） 三階差１，０，０，… 他把這些與微積分聯系起來：一階差相當于ｄｙ，它們的和等于ｙ，如１＋３＋５＋７＝１６。萊布尼茨認為，這種和與差之間的互逆性，與依賴于坐標之差的切線問題及依賴于坐標之和的求積問題的互逆性是一樣的。差別僅在于帕斯卡算術三角形與調合三角形中的兩個元素之差為有限值，而曲線的縱坐標之差是無窮小量。這說明他在考慮無窮小量的和差運算時，已將其與他早些時候關于有限量和差可逆性關系的研究聯系起來。（［１０］，ｐ．３９２）由此也可看出萊布尼茨研究微積分的代數出發點，而不是幾何出發點。（如［７］，ｐ．１０１） 為解決求積問題，萊布尼茨把流動縱坐標是ｙ的平面曲線下的曲邊梯形的面積用符號ｙ表示。這樣，曲線的縱坐標就與面積變量明顯地聯系起來。過了幾年，他便用“ｓｙｄｘ”表示面積，“∫”是“Ｓｕｍ（和）”的第一個字母“Ｓ”的拉長。 在求量的差即微分方面，萊布尼茨先是引進了符號“ｘ／ｄ”表示ｘ的微分，意思是求“差”要關系到量的同次的降低，并且他還認為，如果同時出現不同階的微分，則只留下最低階的，而把所有高階的微分舍去。至于這樣做的理由，萊布尼茨雖提供了多種解釋，但都不充分，其實毋寧說他是當作“公理”來使用的。后來，他將“ｘ／ｄ”改為“ｄｘ”，一直沿用至今。 從上述思路出發，萊布尼茨給出了微積分的基本公式： ｄ（ｘ±ｙ）＝ｄｘ±ｄｙ（１） ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ（２） ｄ（ｘ／ｙ）＝ｙｄｘ－ｘｄｙ／ｙ［２］（３） 對于（２），他的推導是，令ｘ、ｙ分別成為ｘ＋ｄｘ、ｙ＋ｄｙ，則 （ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ＋ｘｙ于是ｄ（ｘｙ）＝（ｘ＋ｄｘ）（ｙ＋ｄｙ）－ｘｙ＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ＋ｄｘｄｙ ｄｘｄｙ是比ｘｄｙ＋ｙｄｘ高一階的無限小量，可以舍去，所以ｄ（ｘｙ）＝ｘｄｙ＋ｙｄｘ 用同樣的方法也可推導出公式（１）和（３）。 有了微分法的基本運算律，對整指數的冪函數ｘ［ｎ］就有ｄｘ［ｎ］＝ｎｘ［ｎ－１］。又由于求和是求差的逆運算，所以還有∫ｘ［ｎ］ｄｘ＝１／ｎ＋１ｘ［ｎ＋１］（ｎ≠－１）。這兩個公式雖只對ｎ是正整數情況而言，但萊布尼茨卻斷然宣布它們當ｎ取其它數值時仍然成立。接著，萊布尼茨陸續地推導出指數和對數等超越函數的微分公式。 萊布尼茨的微積分算法是在解決幾何和物理問題的過程中建立和完善起來的。他邊建立新算法，邊用這種算法解決當時物理學與幾何學提出的疑難問題，有時還用老方法來解決問題以檢驗新方法的正確性。除了切線問題、極值問題、曲率問題、求積問題等幾何問題，他還曾用新方法證明了光的折射定律。所有這些都顯示了新算法比傳統方法更加優越。 除了以上成果，萊布尼茨在微積分方面的具體研究還有：（１）復合函數的微分法則；（２）弧微分法則ds=根號下dx[，2]+dy[，2]；（３）對數函數和指數函數的微分法則；（４）在積分號下對參變量求微分的方法；（５）曲線繞ｘ軸旋轉所成的旋轉體體積公式Ｖ＝π∫ｙ［２］ｄｘ；（６）求切線、求最大值最小值以及求拐點的方法；（７）討論曲率，密切圓和包絡理論。（［８］，ｐｐ．３９４～３９５） 萊布尼茨微積分研究的背景與當時整個西歐的數學家們是一致的，他的工作基礎也是建立在對無窮小的分析上。因此，此后很長一段時間，人們一直把微積分叫無窮小分析。由于萊布尼茨從有限差值開始無窮小的運算，因而他最初曾試圖將實無窮小代之以與其成比例的有限數量，即不用ｄｘ、ｄｙ本身，而用它們的比值ｄｙ／ｄｘ。他以為把ｄｘ、ｄｙ看成有限量，問題就解決了。但是，比值ｄｙ／ｄｘ的獲得同樣需要說清ｄｘ、ｄｙ兩個量本身的實際情況，而不能有半點含糊。于是，萊布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替無窮大和無窮小。他解釋說：“我們可以不用無窮大、無窮小，而用充分大和充分小的量，使得誤差小于給定的誤差限度，所以我們和阿基米德方式的不同之處僅僅在于表達方面，而我們的表達更為直接，更適合于發明家的藝術。”（［８］，ｐ．４０１）為了更好地說明這一點，他不得不訴諸于感性的直觀——物理或幾何模型，用現實事物中量的不同層次的相對性解釋無窮大和無窮小。所以有人說，萊布尼茨其實是半個理性主義，因為他在理性困厄之時，不得不借助經驗。（［９］，ｐ．１３０）例如，他認為點同直線不能相比，所以點加到直線上從直線上去掉等于不加也不減。于是，“當我們談到有不同階的無窮大與無窮小時，就象對恒星的距離而言，把太陽看成一個點；對地球半徑而言，把普通的球看做一個點。這樣，恒星的距離對于普通球的半徑而言是無窮的無窮大，或無窮倍的無窮大。”［１０］而“如果你不承認無限長、無限短線段具有形而上學的嚴密性，也不承認它們是實在的東西，那么你一定可以把它們當作一種能夠縮短論證的思想的東西來使用，正如在普通分析中使用虛根一樣，……老實說，我不十分相信除了把無限大、無限小看作理想的東西，看作有根據的假設，還有什么必要去考察他們，”甚至“我不相信確有無限大量和無限小量存在，它們只是虛構，但是對于縮短論證和在一般敘述中是有用的虛構。”［（１０）］可見，萊布尼茨主要是把微積分當作了求得正確結果的一種方法，只要按這個方法去做，就能得出正確的結果，而不必關心基本概念怎樣。事實上，萊布尼茨對于微積分基礎的這種看似冒失的大膽相信態度，反倒可能促進了微積分及其應用的迅速發展。（［１１］，ｐ．３５９）