摘要：探索和追求精益求精的計算方法和技巧，講究明確的思想依據，著力于靈活和廣泛的應用，是“算經十書”的數學思想精粹。其發展主線是沿著探索、完善和提高“推步”前進的。它把擅長計算的推算和證明的推類結合起來，形成獨特的傳統風格和手段。 關鍵詞：算經十書，傳統數學思想，新理解

Abstract: Exploring and striving for the constantly improving methods and techniques of calculation， stressing the explicit thinking basis， and concentrating on its flexible and wide application is the pith of the mathematic ideas of Suanjingshishu， the thread of which is advancing along the exploration， improvement and development of tuibu (the science of calculating the astronomic calendar). It combines calculation with analogy， and thus， forms its unique traditional style and method. Key Words: Suan Jing Shi Shu， Traditional Mathematical Thinking， new understanding 在世界科學史中，中國傳統數學是一顆燦爛的明珠。在中國傳統數學中，“算經十書”是典型的代表。所謂“算經十書”，指的是中國十部古算書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》（元豐年間已失傳，后來以《數術記遺》代之）、《緝古算經》。唐代時期，國子監內設算學館，置有博士、助教，指導學生學習數學，規定這十部書為課本。許多人為這十部算書作注釋，作增補刪改，歷代華夏子孫學習它，研究它，中國數學也因它而形成自身的傳統并將此傳統繼承和發揚。“算經十書”就其內容來說，屬于初等數學；就其數學思想和數學方法來說，則是十分高深的。下面，我們闡述其數學思想。 1. 探索和追求精益求精的計算方法和技巧 就數學內容而言，“算經十書”以善于計算而見長，并且這一長足的發展還被推進到讓世界其他各國都望塵莫及的地步，這已是中外中算史家的共識。“算經十書”能如此輝煌耀目，是跟它著力探索和追求精益求精的計算方法和技巧分不開的。 “算經十書”中最早的一種《周髀算經》，其第一章敘述了西周開國時期（約公元前1100年）周公與商高的一段問答。從這段問答中，我們可以見到我國早期數學思想的一些初步端倪。當周公問商高“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度。請問數安從出？”時，商高答道：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。”接著，商高還說：“故折矩以為句廣三，股脩四，徑隅五。既方其外，半之一矩，環而共盤，得三、四、五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”這里，我們可以清新地見到，我們祖先在早期“定天下”、“治天下”時，已經看到了數學的重要性（如大禹、周公）；而掌握到一些數學知識的人（如高商），是注意數學思想和數學方法的。比如，我們從上述商高答問中，就可以看到，古人理解“數之所由生”，是將形與量結合起來考察的。圓和方都是形，而形是有數量關系的，從考察形可以探討到“數之法”，但這形中又包含著豐富的數量關系，特別是平方關系（九九八十一）。數之法是從圓形和方形開始的。圓是內接正多邊形經過無數次的倍邊之后所得到的正多邊形的極限（我國最早的極限思想，是不是來自于這種“圓出于方”的觀念，希望讀者引起注意）。矩是木匠用的曲尺，形如L，方中的直角，非矩不能作，所以說方出于矩。矩形的面積又不外于二數相乘，也就是說，要算出來。我國古代算法好憑口訣，而乘法口訣是從“九九八十一”起的，古人用“九九”作為乘法口訣的簡稱，故有“矩出于九九八十一”。這里所包含的用數的性質來研究形的性質的思想，與古希臘的數學思想旨趣相映。古希臘的畢達哥拉斯定理：a2+b2=c2 。而當a=b=1時，則 c= ，這 既不是自然數，也不是自然數之比，所以不能是可接受的正常的數，被稱為無理數，導致了第一次數學危機，從此古希臘數學發展的方向產生了大改變，“幾何化”占了主導地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”這個勾股定理（也稱勾股弦定理、商高定理），是從“折矩”而來然后得“積矩”的，3，4，5及其平方的關系可以體現出勾股定理，但中國并沒有由此而產生數學危機，也沒有發生發展方向的大改變，反而為“幾何代數化”[2]這個中國傳統數學發展主導方向奠定了很好的基礎。中國早期講究以算的方法去解決實際數學問題，是“數之所由生”的重要思想。 在古代，不管是西方國家或中國，數學的發展都跟勾股定理結下不解之緣，這不是偶然的歷史巧合，而是不同淵源和發展脈絡的科學認識的一種必然交匯，其原因是由人們的實踐活動決定的。作為人類早期的數學研究活動，很自然地會碰到考察形的性質及數量關系，直角三角形成為關注的對象是在情理之中。正如趙爽所說的，早期先人們（如大禹）能掌握有關的數學知識是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思維方式會導致數學發展的不同朝向，至少在初等數學領域內是存在的。古希臘在數、形簡單和諧的觀念被打破之后發生大轉向，從重算發展到重證，發展到重視幾何證明，往后的趨勢就是有了這種發展趨勢和成果的集大成標志——歐氏幾何的產生，它是西方國家初等數學體系確立的標志，而中國此時并不發生方向的大改變，而是沿著算的道路繼續前進，往廣度和深度上延伸發展，導致的是中國傳統數學體系的形成——《九章算術》的出現。《九章算術》中有許多具有世界意義的成就，如負數計算、分數計算、聯立一次方程解法等，正是沿著探索計算的方法和技巧前進的結果。可貴的是，我們的祖先在此數學思想的指導之下，并不以原有的結果為滿足，沒有停留在原有的水平上裹足不進，而是精益求精地深入下去。如《九章算術》246道題，有解題方法202“術”，在當時有如此輝煌成績已難能可貴，但三國魏晉時期的劉徽，就在《九章算術》的基礎上，仔細作注，不但為《九章》提供了系統的理論依據，而且大力向前推進，提出了許多創見，將探討和講究精益求精的計算方法和技巧這種數學思想，提到一個更高的水平，并對后世的發展帶來了深刻的實際影響，如他發現的割圓術，為后來祖沖之求得更精確的π值奠定了基礎，唐李淳風注《九章算術》時說：“劉徽特以為疏，遂乃改張其率，但周徑相乘數難契合。祖沖之以其不精，就中更推其數。”劉徽本人告誡人們他所得到的“徽率”太小，后人也正是沿著劉徽的思想方法再繼續前進，將π值愈推愈精確。在求積問題上，劉徽也有突破，他提出了推求球體積的著名的“牟合方蓋”理論，之后，祖暅在劉徽研究的基礎上，精益求精，得到了聞名于世的“祖暅定理”，并具體求出了“牟合方蓋”。這長江后浪推前浪，一浪更比一浪高的中國高超的算法技巧，正是在一條清晰的傳統思維途徑――探索和講求精益求精的計算方法和技巧中進行和取得成就的。如《張丘建算經》自序中這樣寫道：“其夏侯陽之方倉，孫子之蕩杯，此等之術皆未得其妙。故更造新術推盡其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一層樓，就是《張丘建算經》的數學指導思想，正是在此思想的指導之下，出現了舉世聞名的“百雞問題”。 2．講究明確的思想依據 數學思想研究的是數學產生和發展的思想方法和思想依據。“算經十書”不僅在數學知識上光彩耀目，在數學思想上也獨樹一幟，其顯著的特點是對于作為每項有意義的數學成果，都講究其明確的思想依據。 劉徽精細地注釋了《九章算術》，從而確立了中國傳統數學理論體系。劉徽的數學思想和方法，對后世影響極深。如王孝通在《上緝古算經表》中云：“徽思極毫芒，觸類增長。”說劉徽的思想方法是“一時獨步”。而劉徽對自己所接觸和研究的數學，是十分講究明確的思想依據的。“算經十書”中有二部與他密切相關。《九章算術》由于有了劉徽注，從此中國傳統數學有了自己的理論體系；他在注《九章算術》時補撰“重差”，其單行本即《海島算經》。劉徽注《九章算術》時，十分講究數理之道要有明確的思想依據。在《九章算術》注原序中，劉徽說：“徽幼習《九章》，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，采其所見，為之作注。事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干者，知發其一端而已。又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過半矣。”在“圓田術”注中，劉徽寫道：“不有明據，辯之斯難”，于是，他在創造“割圓術”的同時，還告訴人們此種創造是有依據的：“謹接圖驗，更造密率。恐空設法，數昧而難譬。故置諸檢括，謹詳其記注焉。”在“開立圓”（由球的體積以開立方的方法求其直徑）注中，劉徽創立了“牟合方蓋”理論，他不僅介紹了有關方法，而且還言明思想依據，“互相通補，……觀立方之內，盒蓋之外，雖衰殺有漸，而多少不掩。判合總結，方圓相纏，濃纖詭互，不可等正。”但他又擔心依據不足，惟恐理法相違，專門作了交待，以待后人獲得更嚴密的依據：“欲陋形措意，懼失正理。敢不闕疑，以俟能言者”。從中我們不僅見到先哲們對探討數理的思想依據的重視，也深深領悟到他們治學嚴謹的高尚風范。在談到將割圓術作為解決有關極限問題的工具時，劉徽也闡述了其思想依據：“數而求窮之者，謂以情推，不用算籌”（“陽馬術”注）。意思是說，數學中凡解決有關無窮之類問題時，不必用算籌去計算，應當用數學思想去把握。再拿《海島算經》來說，劉徽為什么要寫《海島算經》呢？其思想依據是什么?在《九章算術》劉徽注原序中，劉徽清楚的說明“蒼等為術猶未足以博盡群數也”，于是“輒造重差，并為注解，以究古人之意，綴于句股之下”，“以闡世術之美”。而造“重差”此術的思路是：要測量不可到達目的物的高和遠時，一次測望不夠，于是采用二次測望、三次測望、四次測望，即“度高者重表，測深者累矩”（“重表”或“累矩”就是用表或矩測望兩次）、“孤離者三望”、“離而又旁求者四望”。更為深刻的是，劉徽并不是勉強、被動地去考究數學知識之思想依據的，他認為數學思想與數學知識之間本身具有非常緊密的聯系，他用庖丁解牛來闡述此層道理：“更有異術者，庖丁解牛，游刃理間，故能歷久其刃如新。夫數猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤”（《九章算術》方程術注）。 自劉徽之后，“算經十書”的著者都較注意闡述算理要有明確的思想依據，如四庫總目 提要中稱：《張丘建算經》之體例，皆設為問答，以參校而中明之，簡奧古質，與近求不同，而條理精密，實能深究古人之意。正因為此書注意講究數學的思想依據，因而對掌握數學知識的來龍去脈很有益處，“故唐代頒之算學，以為專業”。就是在我國近年的中學數學課本中，還列有《張丘建算經》的題目。 此外，“算經十書”中關于數學證明的部分，也講究要有明確的思想依據。[3] 3.著力于靈活和廣泛的應用 中國傳統數學十分著力于靈活和廣泛的應用。拿“算經十書”最早的一部《周髀算經》來說，東漢末至三國時代的吳國人趙爽曾對《周髀算經》逐段進行詳細的注釋。在趙爽注釋中有這樣寫道：“禹治洪水，決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄，使東注于海而無侵逆，乃句股之所由生也。”又據《史記?夏本紀》記載，大禹治水時，“陸行乘車，水行乘舟，泥行乘撬，山行乘攆，左準繩，右規矩。”趙爽的注釋和《史記》的記載（山東五梁祠畫像石中有幅大禹治水圖）都說明了我國早期注意從實踐中提煉數學知識并將掌握的數學知識應用到實踐中去。《周髀算經》中記載的“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。環矩以為圓，合矩以為方”都充分體現了將數學知識（包括數學器具）著力于在實踐中應用的思想。我國是一個農業古國，田地面積的量法極需要數學為它提供手段，儲囤糧食、建筑城墻、開溝挖渠等都需要有計算體積的方法，如求方田、廣田、圭田……的面積，求城、……的體積，都十分需要有一定的數學工具為人們提供解決問題的手段。我國古代很早就推行按畝收稅、兩稅法的賦稅制度，兌換、分配的需要以及工商業的發展，促進和加強了將數學知識應用于實踐。再從中國封建統治者來看，他們也極需要精確地計算田畝面積，合理安排賦稅，來發展封建社會的經濟，鞏固封建王朝的統治。特別是天文歷法，它對于歷代統治者來說，都是至關重要的，似乎它就是封建王朝統治者興衰的象征。封建統治者需要頒布歷法，歷法的制定又離不開數學。因此，在古代中國，不管是“民間”或“官方”，都要求數學研究與實踐經驗相結合。《周髀算經》旨在闡明宇宙結構學說“蓋天說”；《九章算術》九個章都與實踐緊密相關；《海島算經》用以解決測量推算遠處目的物的高、深、廣、遠問題；《孫子算經》所選的大部分都是解決實際情況的應用題；《夏侯陽算經》引用當時流傳的乘除捷法，為的是要解決日常生活中的應用問題；《張丘建算經》上、中、下三卷，大部分都是涉及到解決測望、方圓冪積、商功、均輸、方田等現實的實際問題；《五曹算經》分別敘述計算各種形狀的田畝面積、軍隊給養、粟米互換、租稅、倉儲容積、戶調的絲帛和物品交易，即所謂的田曹、兵曹、集曹、倉曹、金曹等五曹的應用問題；《五經算術》則是力圖將古代經籍的注釋中有關數字計算的知識與歷法、樂律的研究結合起來，另有旨趣；《數術記遺》中載有運用數學知識解決實際問題的數學器械，如積算、太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數、把頭、龜算、珠算、計數等。這些，非常雄辯、實在地體現了我國傳統數學思想的鮮明特色。