摘要中國古代數學是一種算器型的算法體系，是一種技藝型的價值取向，中國古代數學在經歷宋元時期的特定歷史階段之后走向明代實用的珠算是一種歷史的必然。目前的研究評價多是暗用了西方古代數學的歐幾里得模式的評價準則，因而過低地評價了珠算在中國古代數學中的歷史地位。中國古代數學的研究評價應從中國文化系統的特定氛圍出發，運用沒有西方古代數學價值觀念的評價準則，給予珠算客觀的歷史評判。

關鍵詞算器型算法，評價準則

AbstractThere exist three kinds of problems on the comparative evaluation between the mathematics during the Song and Yuan Dynasties and the abacus in the Ming Dynasty.They are the tooling algorithm，the value of the concept of skill and the standards of evaluation for ancient Chinese mathematics.The use of the abacus may be regarded as a great contribution to world mathematics after the mathematics during the Song and Yuan Dynasties.

Key words tooling algorithm，standards of evaluation

在中國古代數學史的研究中，宋元數學的成就（主要指秦九韶、李冶、朱世杰、楊輝等人的數學成就）被譽為中國古代數學的頂峰，對宋元以降的明代珠算的評價頗低，人們不認為明代珠算是宋元時期之后中國古代數學的必然發展主流，珠算被認為無法與宋元數學相比。明代珠算一般被評價為“民用”數學或者“商用”數學。錢玉琮先生認為“中國古代傳統數學到明代幾乎失傳”［（１）］。梁宗巨先生認為“朱世杰（１３０３年）之后，我國數學突然出現中斷現象。從朱世杰到明程大位（１５９２年）的三個世紀，沒有重要的創造……我國數學史家李儼描述這時期的情況時說：‘考試制度久已廢止，民間算學大師又繼起無人，是謂中算沉寂時期’，……１３１４年可以作為中斷的分界線。”［（２）］梅榮照先生則進一步指出：“宋元數學在元中葉之后不僅是沒有進一步發展，而且是逐步倒退，甚至倒退到幾乎被人遺忘的程度。”［（３）］ 筆者認為，在宋元時期出現發展并在明代得以全面應用的中國珠算，［（４）］作為中國傳統算器的歷史性創造以及它作為實踐應用的歷史地位并沒有得到數學史界的充分認識。目前的評價沒有把中國珠算與中國古代數學的發展規律聯系起來，沒有把中國珠算作為宋元數學成就之后的又一重大成就，明代珠算與宋元數學的比較評價實際上是中國古代數學史研究評價中一個很值得重視的理論問題。 在中國古代數學史的研究中，對宋元數學和明代珠算評價的反差，實際上已經帶來了中西古代數學比較研究和評價方面的某些困難。客觀地歷史地評價明代珠算，涉及到我們如何認識和理解中國古代數學的算器型的算法體系、技藝型的價值取向和古代數學評價標準等問題。 １珠算與算器型算法體系 目前，許多中國數學史的學者都從中國文化與西方文化的差異中認識到，中西古代數學是兩種不同風格、不同形式、不同構造體系的數學模式。許多中國學者都從中國古代數學發生發展及其流變的規律中指出中國古代數學區別于古希臘數學的特征，并且強調要在中西古代數學的差異之處體現中國古代數學的意義及其對人類數學的貢獻。 在論證分析中國古代數學的特征時，許多學者指出了中國古代數學不象古希臘數學那樣依邏輯運演和邏輯證明為主要形式，中國古代數學主要是以籌算的運演為主，算籌的運演規律構成了中國古代數學的基本特征。換句話說，使用算籌這樣一種算器，并以其為基本運演形式是中國古代數學的基本特征。 李繼閔先生認為：“形數結合，以算為主，使用算器，建立一套算法體系是中國傳統數學的顯著特色。”［（５）］吳文俊先生在論及中國古代數學緊緊依靠算器而形成的數學模式時強調指出：“我國的傳統數學有它自己的體系與形式，有著它自身的發展途徑與獨到的思想體系，不能以西方數學的模式生搬硬套……從問題而不是從公理出發，以解決問題而不是以推理論證為主旨，這與西方之以歐幾里得幾何為代表的所謂演繹體系旨趣迥異，途徑亦殊……在數學發展的歷史長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反復互為消長，交替成為數學發展中的主流。”［（６）］ 中國古代數學實際上是在籌算運演基礎上構成的一種算法體系。在人類的文明史中，中華民族在二千多年的時間里長期依靠一種直觀的、具有符號特征的、可操作運演的算器，表明了人類古代數學的一種有代表性傾向的算法特征，它與古希臘數學代表了人類古代數學的算法和演繹的兩種發展趨勢。［（７）］ 籌算的算法體系有兩種必然的發展方向，其一，是在籌算運演基礎上繼續創造和發展解決問題的籌算運演規律（這一點既需要實踐問題的推動也需要運演經驗的積累）。其二，是籌算運演工具在運演操作中被改進或被創新（這一點同西方邏輯運演形式的改變，即嚴格化、形式化、符號化的改變有相類似之處）。在人類的歷史中，人類對任何應用工具都有不斷改進和創新的特性。籌算排擺及其運演中帶有的不方便、易變動等特征必然會隨著籌算運演的發展而被人們不斷地改進。在宋元時代得以發展到明代得到廣泛應用的珠算，正是中國古代數學對算器本身進行改進創新的一個里程碑似的成就。 中國古代數學是運用算器以算法為中心而構成的數學模式，當算法形成一定構造性的規律時（如宋元數學的成果），人們對此給予高度的贊譽，而對算器發生根本性變革（從籌算運演到珠算運演）取得的成果卻評價的如此平淡，這對正確認識中國古代數學以算器為運演工具的算法體系是有很大困難的。 從中國古代數學發展的規律上分析，籌算運演到珠算運演是中國算器發展的必然趨勢，是以算器為運演形式的算法體系的一個重大進展。認為宋元數學之后中國傳統數學發展中斷了，明代珠算只是中國古代數學發展中斷時的一種民用和商用數學，那么這至少表明中國古代數學的重要特征及其發展規律沒有得到理論評判的重視。 ２珠算與技藝應用的數學價值取向 在數學的發展中，人類數學在其原始狀態都具有神秘性和數量性的雙重文化意義上的解釋功能（或者可以稱之為一種雙重的文化特征），這一種現象無論是在對現有原始部落的考察中［（８）］，還是在人類數學歷史的發展流變中都可以發現。在中國古文化中，以蓍草形式為代表的筮占活動實際上就兼具神秘和數量的雙重解釋功能。《左傳·僖公十五年》寫道：“龜象也。筮數也。”在中國文化中，我們很容易發現以竹棍擺排來表現數量意義的籌算與神事活動的一些共同起源。［（９）］在古希臘的文化中，數學的神秘解釋功能被畢達哥拉斯以“萬物皆教”的形式用來表現世間萬物。 原始數學的神秘性和數量性的雙重功能，在不同的民族文化中形成了不同的數學發展流變的模式。在中國文化中，始于竹棍（蓍草）而起的神秘功能和數量功能，逐漸分化為兩個彼此相異的操作運演體系。一種體系是經孔子推崇而盛行的《周易》蓍草占卜運演體系（即從原始的神秘形式演化為一種具有一定理性思辨色彩的中國文化的理性解釋系統）。另一種體系就是“算數事物”的應用體系——籌算體系。古希臘的數學發展與中國不同，原始的數學神秘功能與數量功能一直沒有分化，反而在畢達哥拉斯之后，經柏拉圖的唯心主義哲學的努力，使數學的神秘功能具有了哲學理性的色彩。古希臘數學神秘性功能與數量性功能的結合一致的共同發展，使歐洲中世紀的數學具有了基督教神學的宗教特征。羅素指出：“與啟示的宗教相對立的理性主義的宗教，自從畢達哥拉斯之后，尤其是從柏拉圖之后，一直是完全被數學和數學方法所支配著的。數學與神學的結合開始于畢達哥拉斯，它代表了希臘的、中世紀的以及直迄康德為止的近代宗教哲學的特征。”［（１０）］ 從中西古代數學的文化功能上比較，人們可以發現，西方文化賦予數學的是一種超越實用的宗教和哲學理性意義的價值取向。中國文化賦予籌算體系的是一種技藝應用的價值取向（中國文化中具有理性思辯功能的解釋形式是《周易》的八卦體系）。［（１１）］ 籌算的技藝型價值取向其實早在《九章算術》時就明確地表現出來了，中國古代數學家劉徽注釋《九章算術》時開篇就寫道“昔在包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之術以合六爻之變。”劉徽對籌算的理解與籌算在中國文化中的地位完全一致。在中國文化中，對“神明之德”“萬物之情”給出形而上意義解釋只可以由周易的八卦形式來完成。歷史的演變使八卦的竹棍排演從器物層次上升為民族文化中的理性層次。同時也就在這個歷史演變中，籌算從蓍草的排演中完全分化出來，成為器物層中一種只有數量操作運演的形而下意義的技藝。中國籌算與古希臘數學的根本差異在于它脫離了神秘性，當然籌算也就不能再具有表述“神明之德”“萬物之情”的形式上意義的宗教或哲學的理性色彩。正如劉徽所看到的那樣，此時的籌算只是八卦的形而上意義指導下的“九九之術”并且以“合六爻之變”來表現自己的技藝應用之“術”。中國原始竹棍排演變化中的神秘性（八卦）和數量性（籌算）的分離，最終導致了籌算在中國文化中只向技藝方向發展的價值取向。中國籌算的這種技藝之術的價值取向，在宋代沈括的《夢溪筆談》中表現的極為鮮明。沈括把自己在數學上創造的隙積術和會圓術放在卷十八的技藝篇中，并把它與造弓有術、中醫灸艾、散筆作書、僧醫奉真等內容并列在一起。 中國文化賦予籌算的技藝型的價值取向使籌算無法與儒家的“修身、齊家、治國、平天下”的人生價值追求相一致，中國封建文人只能學經史以求聞達而實現自我的人生價值，只能“志道據德而游于藝”，對于處于技藝地位的數學只可兼明，不可以為人生之目標。中國傳統的價值觀念以及籌算的技藝型價值取向，就決定了中國古代數學的發展和構造模式，于是有秦漢之后的《九章算術》和盛唐時期《算經十書》的教學與傳播。然而，宋元數學成就的取得卻與中國傳統儒家價值觀念和籌算的價值取向發展相背離。 宋代的秦九韶由于戰亂而仕途不暢，進而研究數學。他在《數書九章序》中認為數學“大則可以通神明，順性命，小則可以經世務，類萬物，……數與道非二本也”。李冶作為金朝亡國之吏轉而從事數學研究，他在《測圓海鏡細草》的序中認為數學“施之人事，則最為切務”，“茍能推自然之理，以明自然之數，則雖遠而乾端坤倪，幽而神情鬼狀，未有不合者矣。”宋元時期另二位著名數學家朱世杰、楊輝也是仕途上未得到發展之人。 作為宋元數學家的群體（除沈括外），我們可以發現這樣兩個特征，其一，這些數學家都在理性的意義上而不僅僅在技藝的層次上研究數學。其二，這些仕途沒得發展的文人幾乎都試圖以數來實現他們的人生價值（至少是部分的價值）。 李約瑟先生論及宋元數學時指出“宋代最偉大的數學家（除沈括外）大多數是流浪的平民和小官吏，……事實上，似乎可以指出，女真人的金朝和蒙古人的元朝帝國擺脫了官僚政治的約束，加上漢族學者當時在仕途中遭受種種障礙，這些都是促使這個時期中國數學達到高潮的主要解放因素。”［（１２）］ 梅榮照先生在論及宋元數學的獨特發生發展的規律時，也特別指出了它與中國古代數學一般發生發展規律的差異，“在戰爭時期，在改朝換代的過程中，或是在統治階級堵絕了這些儒士們的仕途，或是這些儒士們不愿為異族的統治者服務，出現了棄經史從數學的局面，宋元時期就是這樣，……這種從事數學研究的興旺局面，是封建社會的和平時期甚至是唐初提倡數學并把數學列為科舉考試科目的年代無法與之相比的。當然，這不是一般規律，而是由中國封建社會所特有的性質決定的。”［（１３）］可以認為，戰亂及朝代更替、失落的仕大夫群體、傳統文化價值觀念的紊亂和非技藝取向的理性追求等諸因素在特定歷史時期的結合，才形成了宋元數學的奇異性發展。