［摘 要］分形理論是現(xiàn)代非線性科學(xué)中的重要分支之一， 它的發(fā)展為經(jīng)濟(jì)學(xué)研究提供了一種全新的工具。本文通過(guò)分形理論著重考察了GDP規(guī)模與股票市場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)分布特征，以及其分形維數(shù)，認(rèn)為GDP規(guī)模和股指的統(tǒng)計(jì)也具有分形的性質(zhì)，其經(jīng)驗(yàn)分布為穩(wěn)定的冪律分布。結(jié)果表明：GDP的擬合函數(shù)為Y=11.48X-1.30，滬市股指的擬合函數(shù)為Y=15.63X-1.28，兩者均嚴(yán)格符合Zipf分布；通過(guò)回歸分析，得到以滬市股指為因變量，GDP為自變量的方程：Y=113.825+0.11X。 ［關(guān)鍵詞］GDP 股指 分形 標(biāo)度區(qū) 一、引言 股市是國(guó)民經(jīng)濟(jì)的晴雨表，GDP是衡量國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的最重要指標(biāo)，兩者可以反映一國(guó)經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行狀況。分形理論是當(dāng)今世界非常活躍的新理論、新學(xué)科，分形是分形幾何學(xué)的概念，最早是由B.B.Mandelbort 在1967 年首先提出。自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則，它表示分形在通常的幾何變換下具有不變性，即標(biāo)度無(wú)關(guān)性，分形理論以分維作為定量特征和基本參數(shù)。分形理論的出現(xiàn)，解決了歐式幾何無(wú)法解決的事物的局部與整體的自相似性的現(xiàn)象，在自然和人文科學(xué)都有廣泛的運(yùn)用。Batty 在1985 年開(kāi)創(chuàng)了分形城市研究，他和Longley 研究了城市邊界和城市土地利用形態(tài)分形。Frankhauser 測(cè)算了世界上許多城市形態(tài)的分維，Batty、White 等在城市形態(tài)的分形模擬方面做了很多研究。 本研究應(yīng)用數(shù)理模型——分形理論對(duì)1990年以來(lái)近二十年的國(guó)民經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的發(fā)展進(jìn)行評(píng)估，利用GDP與滬市股指的數(shù)據(jù)，首先通過(guò)嚴(yán)格的分形測(cè)度，利用雙對(duì)數(shù)曲線證明兩指標(biāo)具有分形的特征，求出分維數(shù)和擬合函數(shù)方程。 二、數(shù)據(jù)與方法 1.數(shù)據(jù)處理 本文選取GDP和滬市股指作為研究對(duì)象，來(lái)代表研究時(shí)段中國(guó)宏觀經(jīng)濟(jì)發(fā)展的基本狀態(tài)。數(shù)據(jù)來(lái)源于1990年以來(lái)的《中國(guó)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)年鑒》。在獲取數(shù)據(jù)的過(guò)程中，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行錄入、修正等預(yù)處理。在地理信息系統(tǒng)軟件（ArcGIS）支持下，對(duì)處理后的地形圖進(jìn)行矢量化，提取兩指標(biāo)的特征數(shù)據(jù)。相關(guān)數(shù)據(jù)處理主要借助Excel2007、SPSS等軟件完成。 2.數(shù)理模型 經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的等級(jí)結(jié)構(gòu)與規(guī)模分布原本是各自獨(dú)立的研究課題。現(xiàn)已證明，等級(jí)模式與規(guī)模分布法則一致或兼容 ，可謂是殊途同歸。為此，本文將經(jīng)濟(jì)規(guī)模分布作為等級(jí)結(jié)構(gòu)研究的重要內(nèi)容。所謂宏觀經(jīng)濟(jì)規(guī)模分布(city- size dist ribu t ion) 系指某區(qū)域(國(guó)家、地區(qū)等) 內(nèi)城鎮(zhèn)經(jīng)濟(jì)規(guī)模的層次分布。規(guī)模分布法則一直是理論界的難題，“很少有什么社會(huì)科學(xué)問(wèn)題象經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的位序—規(guī)模問(wèn)題(rank- size problem ) 這樣， 引發(fā)了如此眾多的研究。”分形理論創(chuàng)生以后， 這類(lèi)研究才取得實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。實(shí)際上， 區(qū)域城鎮(zhèn)等級(jí)規(guī)模Zipf公式(與之等價(jià)的是Pareto分布)就是一個(gè)分形模型。設(shè)想一個(gè)區(qū)域，是一個(gè)復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)體。可以設(shè)定一個(gè)針對(duì)經(jīng)濟(jì)總量的測(cè)度尺度r來(lái)度量(r用位序等表示)。顯然，改變尺度，區(qū)域經(jīng)濟(jì)總量N (r)也會(huì)改變， 當(dāng)r 由大變小時(shí)， N (r) 不斷增大，滿足關(guān)系式。 N ( r) ∝ r- D (1) 即區(qū)域經(jīng)濟(jì)總量與測(cè)量尺度成負(fù)冪律分布時(shí)，可以認(rèn)為經(jīng)濟(jì)總量規(guī)模分布為分形。同理，股票市場(chǎng)的分形分布也可以成立。類(lèi)比于Hausdorff 維數(shù)公式可知， 式中D為分維，它在一定時(shí)期內(nèi)為常數(shù)。 式(1)正是規(guī)模分布的Pareto形式， 經(jīng)變換可得Zipf 公式 P (k ) = P 1K – q (2) 式中K 為城鎮(zhèn)序號(hào)(K = 1，2……N ，N為系統(tǒng)中城鎮(zhèn)總數(shù))；P (k ) 是序號(hào)為K 的城鎮(zhèn)的人口；P 1為理論上的經(jīng)濟(jì)總量最大年的GDP(為系數(shù))，q為Zipf 指數(shù)。 對(duì)(2)式兩邊取對(duì)數(shù)，則有: lnP (k ) = lnP 1 - qlnK (3) q也可以寫(xiě)成D，其就是研究對(duì)象的分維數(shù)，D可以通過(guò)回歸方程(3)求得。 三、結(jié)論與討論 國(guó)民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)作為一個(gè)開(kāi)放的、復(fù)雜的巨系統(tǒng)，具有明顯的耗散結(jié)構(gòu)特征，具有自相似、自組織和進(jìn)化功能。這種自相似和自組織性是通過(guò)經(jīng)濟(jì)規(guī)律自身的作用，形成自組織演變規(guī)律。探討GDP和股票市場(chǎng)作為分形結(jié)構(gòu)的演化特征，從表2中的分維值的時(shí)空演變中，不難看出，不論是GDP個(gè)抑或股票指數(shù)，明顯具有分形結(jié)構(gòu)特征。 GDP分形特征明顯。從表2中可以看到，模型的擬合優(yōu)度R2 總體較高，相關(guān)系數(shù)較高。從整個(gè)市區(qū)用地來(lái)看，無(wú)標(biāo)度區(qū)點(diǎn)列回歸的擬合優(yōu)度GDP為0. 995 3，滬市股指為0.999，分維的標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為0. 034 5和0. 015。作為參照，全部點(diǎn)列回歸結(jié)果的變化特征與無(wú)標(biāo)度區(qū)點(diǎn)列完全一致。據(jù)有關(guān)學(xué)者研究 ，當(dāng)維數(shù)D 的標(biāo)準(zhǔn)誤差低于臨界值δc = 0. 04，就可認(rèn)為事物的分布是分形的，對(duì)城市地理系統(tǒng)而言是一個(gè)相當(dāng)嚴(yán)格的要求。然而，本文兩指標(biāo)全部符合這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，GDP的全部點(diǎn)列的分維標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.035，就低于0.04的臨界值。 可見(jiàn)，中國(guó)股市的變動(dòng)較大，其發(fā)展并不能很好的表現(xiàn)強(qiáng)勁的中國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。但是GDP總量對(duì)股市具有明顯的影響。