： 數(shù)學(xué)，作為一門研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，在它產(chǎn)生和發(fā)展的歷史長河中，一直是和人們生活的實(shí)際需要密切相關(guān)的。作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)同樣悠久的歷史。兩千多年以前創(chuàng)立的歐幾里德幾何，17世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的牛頓萬有引力定律，都是科學(xué)發(fā)展史上數(shù)學(xué)建模的成功范例。???

一、數(shù)學(xué)建模意義

數(shù)學(xué)模型具有解釋、判斷、預(yù)測等重要功能，它在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用會(huì)越來越廣泛．

就教育領(lǐng)域來說，數(shù)學(xué)建模課程可以培養(yǎng)和提高學(xué)生下列能力：

（1）洞察能力；

（2）數(shù)學(xué)語言翻譯能力；

（3）綜合應(yīng)用分析能力；

（4）聯(lián)想能力；

（5）各種當(dāng)代科技最新成果的使用能力．

二、數(shù)學(xué)建模方法

常用的數(shù)學(xué)建模方法如下：

（一）機(jī)理分析法 從基本物理定律以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)來推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型的方法

1. 比例分析法 —— 建立變量之間函數(shù)關(guān)系的最基本、最常用的方法.

2. 代數(shù)方法——求解離散問題（離散的數(shù)據(jù)、符號(hào)、圖形）的主要方法.

3. 邏輯方法——是數(shù)學(xué)理論研究的重要方法，用以解決社會(huì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，在決策論，對(duì)策論等學(xué)科中得到廣泛應(yīng)用.

4. 常微分方程——解決兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，關(guān)鍵是建立“瞬時(shí)變化率”的表達(dá)式．

5. 偏微分方程——解決因變量與兩個(gè)以上自變量之間的變化規(guī)律．

（二）數(shù)據(jù)分析法 從大量的觀測數(shù)據(jù)利用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型的方法

1. 回歸分析法——用于對(duì)函數(shù)的一組觀測值，確定函數(shù)的表達(dá)式，由于處理的是靜態(tài)的獨(dú)立數(shù)據(jù)，故稱為數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法．

2. 時(shí)序分析法——處理的是動(dòng)態(tài)的相關(guān)數(shù)據(jù)，又稱為過程統(tǒng)計(jì)方法．

(三)仿真和其他方法

1. 計(jì)算機(jī)仿真（模擬）——實(shí)質(zhì)上是統(tǒng)計(jì)估計(jì)方法，等效于抽樣試驗(yàn)．

① 離散系統(tǒng)仿真——有一組狀態(tài)變量．

② 連續(xù)系統(tǒng)仿真——有解析表達(dá)式或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖．

2. 因子試驗(yàn)法——在系統(tǒng)上作局部試驗(yàn)，再根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行不斷分析修改，求得所需的模型結(jié)構(gòu)．

3. 人工現(xiàn)實(shí)法——基于對(duì)系統(tǒng)過去行為的了解和對(duì)未來希望達(dá)到的目標(biāo)，并考慮到系統(tǒng)有關(guān)因素的可能變化，人為地組成一個(gè)系統(tǒng)．

三、數(shù)學(xué)建模的幾種模式

數(shù)學(xué)建模的研究性學(xué)習(xí)是學(xué)生探究問題的過程，主要由學(xué)生自己完成，學(xué)生具有高度的主體性，注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中體驗(yàn)，是一種建構(gòu)活動(dòng)，是一種形成活動(dòng)，一種反思活動(dòng)；研究性學(xué)習(xí)具有實(shí)踐性，能使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用；研究性學(xué)習(xí)具有開放性。

教學(xué)實(shí)踐中，我采用的具體模式有以下幾種：

模式1．統(tǒng)一問題——研究報(bào)告模式

教師認(rèn)真選擇或者構(gòu)造實(shí)際問題或?qū)嶋H問題系列，給出解決問題要求或主要線索，由學(xué)生個(gè)人或小組按照教師的要求或提示，用一個(gè)較長的作業(yè)周期（一般不少于一星期），獨(dú)立完成求解任務(wù)。條件合適時(shí)，還可以組織交流和答辯。

模式2．調(diào)查報(bào)告模式

調(diào)查報(bào)告模式是課外活動(dòng)課內(nèi)交流的形式。一般分兩種情況，一是要求學(xué)生自己利用休息時(shí)間，在現(xiàn)實(shí)生活中尋找與此部分知識(shí)相關(guān)的問題，并寫成調(diào)查報(bào)告，用于課上交流；二是統(tǒng)一內(nèi)容，一起針對(duì)一個(gè)實(shí)際問題，選擇課題學(xué)習(xí)方式，并提出解決問題方案，寫成調(diào)查報(bào)告，用于課上交流。兩種方式有不同側(cè)重點(diǎn)，對(duì)學(xué)生能力的培養(yǎng)也不盡相同。前者著重于發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)，后者側(cè)重于對(duì)同一實(shí)際問題，不同的課題學(xué)習(xí)、建模方案。在這個(gè)過程中，學(xué)生把學(xué)習(xí)知識(shí)、應(yīng)用探索發(fā)現(xiàn)、使用計(jì)算機(jī)或其他測量工具等有機(jī)的結(jié)合起來。在他們自主地解決問題的過程，學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、獲得“微科研”的體驗(yàn)，培養(yǎng)了協(xié)作精神和關(guān)注社會(huì)，關(guān)注生活的社會(huì)責(zé)任感和主人翁意識(shí)；培養(yǎng)了不因循守舊的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。回到課堂上，同學(xué)們暢所欲言，真正實(shí)現(xiàn)了師生互動(dòng)、生生互動(dòng)，學(xué)生的認(rèn)知情緒和探求事物的心理得到滿足；同時(shí)開放的問題情景和開放性命題，供學(xué)生思維和探求的懸念較多，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和成就感。 模式3．優(yōu)秀建模案例研讀模式

此模式是一種課下閱讀，課內(nèi)交流。選定一篇學(xué)生數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文，學(xué)生課下閱讀。

首先，對(duì)學(xué)生提出如下要求：了解原作所提的問題背景；理解原作建模思想、方法，求解方式；了解原作的結(jié)論，如果你擁有原作者的實(shí)際問題，你將如何解決？

其次，指定兩名同學(xué)作為主講人，主持課上的學(xué)習(xí)與討論。教師對(duì)主講人的指導(dǎo)分兩個(gè)方面：一是語言文字關(guān)，要提醒學(xué)生用準(zhǔn)確、簡練的文字表述以及適當(dāng)?shù)恼Z速語調(diào)；二是論文整體結(jié)構(gòu)的把握，各部分在全篇的地方作用是什么？要求主講的學(xué)生對(duì)原作不僅下工夫去讀，甚至去計(jì)算、重新組合；為了能正確回答同學(xué)們的問題，需查閱大量的相關(guān)書籍，應(yīng)該說，主講人最辛苦，收獲也最大，因此是最好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)和研究別人的數(shù)學(xué)建模成果，雖然不同于自己做課題，但這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，以及從他人的思路和方法中學(xué)到如何做課題無疑具有積極的意義，這樣做充分利用了學(xué)生優(yōu)秀論文這一寶貴的教育資源。這種課堂上的老師，不再是編劇、導(dǎo)演、主演和正確的化身，而是動(dòng)態(tài)的變換自己角色，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的參與者、參謀和欣賞者。

模式4．“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”模式

該模式主要通過如下幾個(gè)過程完成：

（1）設(shè)置問題或構(gòu)造問題環(huán)境

（2）通過探索討論，提煉數(shù)學(xué)模型，形成猜想或分解成有目標(biāo)的“小任務(wù)”

（3）激勵(lì)學(xué)生自主地嘗試解決問題

（4）引導(dǎo)評(píng)價(jià)，及時(shí)總結(jié)，鞏固成果

（5）求異探新，把問題的探索和發(fā)現(xiàn)解決的過程延續(xù)到課外

模式5．課外活動(dòng)的“四步模式”

數(shù)學(xué)課外活動(dòng)是課堂的延伸，是拓展學(xué)生知識(shí)面，提高學(xué)生多方面數(shù)學(xué)素質(zhì)能力的好形式。我常常把每學(xué)期的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)按教學(xué)周期設(shè)計(jì)，在每一個(gè)教學(xué)周期中都基本含有以下四個(gè)階段：

第一階段：讓學(xué)生感受到研究生活中的數(shù)學(xué)問題是十分有益而又有趣的事。在這個(gè)階段由淺入深安排一些用數(shù)學(xué)知識(shí)巧妙解決的問題，如投資，經(jīng)營，贊助中的問題，二進(jìn)制的應(yīng)用，體育賽制等內(nèi)容。這些內(nèi)容貼近學(xué)生實(shí)際，能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

第二階段：隨著學(xué)習(xí)的深入，問題難度加大了，在學(xué)生感到問題棘手，知識(shí)匱乏時(shí)可以向他們介紹有關(guān)知識(shí)。有目的地學(xué)習(xí)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，效果好。

第三階段：前面兩個(gè)階段研究的問題還是比較容易找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具解決的實(shí)際問題，有大部分是為了訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和能力而將實(shí)際問題簡化而編成的題，離真正的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)還有很大的差距。我們所以提出條件更模糊，解決方向也不明確的實(shí)際問題，帶領(lǐng)學(xué)生一起去解決。

第四階段：在接觸了一些數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)例之后，學(xué)生已躍躍欲試，希望自己能夠獨(dú)立解決一些實(shí)際問題。但往往由于問題涉及的因素較為復(fù)雜，學(xué)生社會(huì)經(jīng)驗(yàn)貧乏及多種學(xué)科綜合運(yùn)用的能力不足使他們在解決問題時(shí)困難重重。這時(shí)我們或者指導(dǎo)學(xué)生去有目的地學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)，鼓勵(lì)他們?nèi)ハ驅(qū)＜易稍儯鸩矫鞔_解決的方向。

四、數(shù)學(xué)建模效果

實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信；有利于培養(yǎng)學(xué)生的“潛創(chuàng)造力”；有助于學(xué)習(xí)策略和方法的形成；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)和促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展；可以促使教師自覺轉(zhuǎn)變觀念，不斷學(xué)習(xí)，更新知識(shí)；有利于教師提高自身的科研能力和創(chuàng)造力；有利于培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；有利于培養(yǎng)學(xué)生處理信息的能力；有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀；有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與其它科學(xué)的聯(lián)系；有利于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。

[1] 《數(shù)學(xué)建模導(dǎo)論》 陳理榮主編 北京：北京郵電大學(xué)出版社，1999

[2] 《數(shù)學(xué)建模》原理與方法 蔡鎖章主編 北京：海洋出版社，2000

[3] 《數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐》 吳翊，吳孟達(dá)，成禮智編著 長沙：國防科技大學(xué)出版社，1999