數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時(shí)又是這種文化極其重要的因素，這種觀(guān)點(diǎn)在許多人看來(lái)是難以置信的，或者充其量來(lái)說(shuō)也只是一種夸張的說(shuō)法。這種懷疑態(tài)度完全可以理解，它是一種普遍存在的對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)的錯(cuò)誤概念所帶來(lái)的結(jié)果。 由于受學(xué)校教育的影響，一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是對(duì)科學(xué)家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對(duì)這門(mén)學(xué)科的厭惡和對(duì)它的忽視。當(dāng)有人對(duì)這種狀況提出異議時(shí)，某些飽學(xué)之士可以得到權(quán)威們的支持。圣? 奧古斯丁(St．Augustine)不是說(shuō)過(guò)嗎：“好的基督徒應(yīng)該提防數(shù)學(xué)家和那些空頭許諾的人。這樣的危險(xiǎn)已經(jīng)存在，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)與魔鬼簽定了協(xié)約，要使精神進(jìn)入黑暗，把人投入地獄”。古羅馬法官則裁決“對(duì)于作惡者、數(shù)學(xué)家諸如此類(lèi)的人”應(yīng)禁止他們“學(xué)習(xí)幾何技藝和參加當(dāng)眾運(yùn)算像數(shù)學(xué)這樣可惡的學(xué)問(wèn)。”叔本華(Schopenhauer)，一位在現(xiàn)代哲學(xué)史上占有重要地位的哲學(xué)家，也把算術(shù)說(shuō)成是最低級(jí)的精神活動(dòng)，他之所以持這種態(tài)度，是基于算術(shù)能通過(guò)機(jī)器來(lái)運(yùn)算這一事實(shí)。 由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的論斷和流行的看法，竟被認(rèn)為是正確的!但是一般人忽視數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)仍然是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)學(xué)科并不是一系列的技巧。這些技巧只不過(guò)是它微不足道的方標(biāo)題是本文譯者加的，副標(biāo)題為原標(biāo)題面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫(huà)一樣。 技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會(huì)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。 因此，讓我們看一看20世紀(jì)人們對(duì)這門(mén)學(xué)科的態(tài)度。首先，數(shù)學(xué)主要是一種尋求眾所周知的公理法思想的方法。這種方法包括明確地表述出將要討論的概念的定義，以及準(zhǔn)確地表述出作為推理基礎(chǔ)的公設(shè)。具有極其嚴(yán)密的邏輯思維能力的人從這些定義和公設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出結(jié)論。數(shù)學(xué)的這一特征由17世紀(jì)一位著名的作家在論及數(shù)學(xué)和科學(xué)時(shí)，以某種不同的方式表述過(guò)：“數(shù)學(xué)家們像戀人。……承認(rèn)一位數(shù)學(xué)家的最初的原理，那么他由此將會(huì)推導(dǎo)出你也必須承認(rèn)的另一結(jié)論，從這一結(jié)論又推導(dǎo)出其他的結(jié)論。” 僅僅把數(shù)學(xué)看作一種探求的方法，就如同把達(dá)? 芬奇“最后的晚餐”看作是畫(huà)布上顏料的組合一樣。數(shù)學(xué)也是一門(mén)需要?jiǎng)?chuàng)造性的學(xué)科。在預(yù)測(cè)能被證明的內(nèi)容時(shí)，和構(gòu)思證明的方法時(shí)一樣，數(shù)學(xué)家們利用高度的直覺(jué)和想象。例如，牛頓和開(kāi)普勒就是極富于想象力的人，這使得他們不僅打破了長(zhǎng)期以來(lái)僵化的傳統(tǒng)，而且建立了新的、革命性的概念。在數(shù)學(xué)中，人的創(chuàng)造能力運(yùn)用的范圍，只有通過(guò)檢驗(yàn)這些創(chuàng)造本身才能決定。有些創(chuàng)造性成果將在后面討論，但這里只需說(shuō)一下現(xiàn)在這門(mén)學(xué)科已有八十多個(gè)廣泛的分支就夠了。 如果數(shù)學(xué)的確是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，那么驅(qū)使人們?nèi)プ非笏膭?dòng)力是什么呢?研究數(shù)學(xué)最明顯的、盡管不一定是最重要的動(dòng)力是為了解決因社會(huì)需要而直接提出的問(wèn)題。商業(yè)和金融事務(wù)、航海、歷法的計(jì)算、橋梁、水壩、教堂和宮殿的建造、作戰(zhàn)武器和工事的設(shè)計(jì)，以及許多其他的人類(lèi)需要，數(shù)學(xué)能對(duì)這些問(wèn)題給出最完滿(mǎn)的解決。在我們這個(gè)工程時(shí)代，數(shù)學(xué)被當(dāng)作普遍工具這一事實(shí)更是毋庸置疑。數(shù)學(xué)的另外一個(gè)基本作用(的確，這一點(diǎn)在現(xiàn)代特別突出)，那就是提供自然現(xiàn)象的合理結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)的概念、方法和結(jié)論是物理學(xué)的基礎(chǔ)。這些學(xué)科的成就大小取決于它們與數(shù)學(xué)結(jié)合的程度。數(shù)學(xué)已經(jīng)給互不關(guān)聯(lián)的事實(shí)的干枯骨架注入了生命，使其成了有聯(lián)系的有機(jī)體，并且還將一系列彼此脫節(jié)的觀(guān)察研究納入科學(xué)的實(shí)體之中。 智力方面的好奇心和對(duì)純思維的強(qiáng)烈興趣，激勵(lì)許多數(shù)學(xué)家研究數(shù)的性質(zhì)和幾何圖形，并且取得了富有創(chuàng)造性的成果。今天很受重視的概率論，就開(kāi)始于牌賭中的一個(gè)問(wèn)題——一場(chǎng)賭博在結(jié)束之前就被迫中止了，那么賭注如何分配才合理?另外一個(gè)與社會(huì)需要或科學(xué)沒(méi)有什么聯(lián)系的最突出的成就，就是由古代希臘人創(chuàng)造出來(lái)的，他們把數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變成了抽象的、演繹的和公理化的思想系統(tǒng)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)科中一些最偉大的成就——射影幾何、數(shù)論、超窮數(shù)理論和非歐幾何，這里我只提到我們將要討論的內(nèi)容——都是為了解決純智力的挑戰(zhàn)。 進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最主要的趨策力是對(duì)美的追求。羅素，這位抽象數(shù)學(xué)思想的大師曾直言不諱地說(shuō)：數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無(wú)上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒(méi)有繪畫(huà)或音樂(lè)的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實(shí)的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺(jué)得高于人的意識(shí)——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩(shī)里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到。 除了完善的結(jié)構(gòu)美以外，在證明和得出結(jié)論的過(guò)程中，運(yùn)用必不可少的想象和直覺(jué)也給創(chuàng)造者提供了高度的美學(xué)上的滿(mǎn)足。如果美的組成和藝術(shù)作品的特征包括洞察力和想象力，對(duì)稱(chēng)性和比例、簡(jiǎn)潔，以及精確地適應(yīng)達(dá)到目的的手段，那么數(shù)學(xué)就是一門(mén)具有其特有完美性的藝術(shù)。 盡管歷史已清楚地表明，上述所有因素推動(dòng)了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展，但是依然存在許多錯(cuò)誤的觀(guān)點(diǎn)。有這樣的指責(zé)(經(jīng)常是用來(lái)為對(duì)這門(mén)學(xué)科的忽視作辯解的)，認(rèn)為數(shù)學(xué)家們喜歡沉湎于毫無(wú)意義的臆測(cè);或者認(rèn)為數(shù)學(xué)家們是笨拙和毫無(wú)用處的夢(mèng)想家。對(duì)這種指責(zé)，我們可以立刻作出使其無(wú)言以對(duì)的駁斥。事實(shí)證明，即使是純粹抽象的研究，更不用說(shuō)由于科學(xué)和工程的需要而進(jìn)行的研究了，也是有極大用處的。圓錐曲線(xiàn)(橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn))自被發(fā)現(xiàn)二干多年來(lái)，曾被認(rèn)為不過(guò)是“富于思辨頭腦中的無(wú)利可圖的娛樂(lè)”，可是最終它卻在現(xiàn)代天文學(xué)、仿射運(yùn)動(dòng)理論和萬(wàn)有引力定律中發(fā)揮了作用。 另一方面，一些“具有社會(huì)頭腦”的作家斷言：數(shù)學(xué)完全或者主要是由于實(shí)際需要，如需要建筑橋梁、制造雷達(dá)和飛機(jī)而產(chǎn)生或發(fā)展的。這種斷言也是錯(cuò)誤的。數(shù)學(xué)已經(jīng)使這些對(duì)人類(lèi)方便有用的東西成為可能，但是偉大的數(shù)學(xué)家在進(jìn)行思考和研究時(shí)卻很少把這些放在心上。有些人對(duì)實(shí)際應(yīng)用漠不關(guān)心，這可能是因?yàn)樗麄兂晒膽?yīng)用在幾百年后才實(shí)現(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖的唯心主義數(shù)學(xué)玄想，比起貨棧職員采用“+”號(hào)和“一”號(hào)的實(shí)際行動(dòng)來(lái)(這曾使某一作家深信“數(shù)學(xué)史上的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)乃是由日常的社會(huì)活動(dòng)所致”)，所作的貢獻(xiàn)要大得多。確實(shí)，幾乎每一個(gè)偉大的人物所考慮的都是他那個(gè)時(shí)代的問(wèn)題，流行的觀(guān)點(diǎn)會(huì)制約和限制他的思想。如果牛頓早生二百年，他很有可能會(huì)成為一位出色的神學(xué)家。偉大的思想家追求時(shí)代智力風(fēng)尚，就如同婦女在服飾上趕時(shí)髦一樣。即使是把數(shù)學(xué)作為純粹業(yè)余愛(ài)好的富有創(chuàng)造性的天才，也會(huì)去研究令專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家和科學(xué)家感到十分激動(dòng)的問(wèn)題。但是，那些“業(yè)余愛(ài)好者”和數(shù)學(xué)家們一般并不十分關(guān)心他們工作的實(shí)用價(jià)值。 實(shí)用的、科學(xué)的、美學(xué)的和哲學(xué)的因素，共同促進(jìn)了數(shù)學(xué)的形成。把這些做出貢獻(xiàn)、產(chǎn)生影響的因素中的任何一個(gè)除去，或者抬高一個(gè)而去貶低另外一個(gè)都是不可能的，甚至不能斷定這些因素中誰(shuí)具有相對(duì)的重要性。一方面，對(duì)美學(xué)和哲學(xué)因素作出反應(yīng)的純粹思維，決定性地塑造了數(shù)學(xué)的特征，并且作出了像歐氏幾何和非歐幾何這樣不可超越的貢獻(xiàn)。另一方面，數(shù)學(xué)家們登上純思維的頂峰不是靠他們自己一步步攀登，而是借助于社會(huì)力量的推動(dòng)。如果這些力量不能為數(shù)學(xué)家們注入活力，那么他們就立刻會(huì)身疲力竭;然后他們就僅僅只能維持這門(mén)學(xué)科處于孤立的境地。雖然在短時(shí)期內(nèi)還有可能光芒四射，但所有這些成就會(huì)是曇花一現(xiàn)。 數(shù)學(xué)的另一個(gè)重要特征是它的符號(hào)語(yǔ)言。如同音樂(lè)利用符號(hào)來(lái)代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。與日常講話(huà)用的語(yǔ)言不同，日常語(yǔ)言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會(huì)和政治運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的、憑借數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性和簡(jiǎn)潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，就會(huì)顯得冗長(zhǎng)不堪。這種簡(jiǎn)潔性有助于思維的效率。J．K．杰羅姆(J．K．Jerome)，為了需要求諸于代數(shù)符號(hào)，在下面一段描寫(xiě)中，盡管與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)，卻清楚地表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性和明了性： 當(dāng)一個(gè)12世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時(shí)，他不會(huì)后退三步，看著他心愛(ài)的姑娘的眼睛，對(duì)他說(shuō)她是世界上最漂亮的人兒。他說(shuō)他要冷靜下來(lái)，仔細(xì)考慮這件事。如果他在外面碰上一個(gè)人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個(gè)人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個(gè)小伙子——姑娘是個(gè)漂亮姑娘。如果是另外一個(gè)小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個(gè)人的——對(duì)第二個(gè)小伙子來(lái)說(shuō)的另外一個(gè)。因?yàn)榱硗庖粋€(gè)小伙子只是對(duì)他來(lái)說(shuō)是另外一個(gè)，而不是對(duì)前面那個(gè)小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個(gè)小伙子，而是那個(gè)小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B腦袋，那么A的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個(gè)漂亮的姑娘，而B(niǎo)的姑娘是一個(gè)漂亮的姑娘。 簡(jiǎn)潔的符號(hào)能夠使數(shù)學(xué)家們進(jìn)行復(fù)雜的思考時(shí)應(yīng)付自如，但也會(huì)使門(mén)外漢聽(tīng)數(shù)學(xué)討論如墜五里云霧。 數(shù)學(xué)語(yǔ)言中使用的符號(hào)十分重要，它們能區(qū)別日常語(yǔ)言中經(jīng)常引起混亂的意義。例如，英語(yǔ)中使用“is”一詞時(shí)，就有多種不同的意義。在“他在這兒”(He is here)這個(gè)句子中，“is”就表示一種物理位置。在“天使是白色的”(Anangel is white)這個(gè)句子中，它表示天使的一種與位置或物理存在無(wú)關(guān)的屬性。在“那個(gè)人正在跑”(The man is running)這個(gè)句子中，這個(gè)詞"is”表示的是動(dòng)詞時(shí)態(tài)。在“二加二等于四"(Two and Two are four)這個(gè)句子中，is的形式被用于表示數(shù)字上的相等。在“人是兩足的能思維的哺乳動(dòng)物”(Men are the two—legged thinking mammals)這個(gè)句子中，is的形式被用來(lái)斷言?xún)山M之間的等同。當(dāng)然，在一般日常會(huì)話(huà)中引用各種各樣不同的詞來(lái)解釋is的所有這些意義，不過(guò)是畫(huà)蛇添足，因?yàn)楸M管有這些意義上的混亂，人們也不會(huì)因此產(chǎn)生什么誤會(huì)。但是，數(shù)學(xué)的精確性——它與科學(xué)和哲學(xué)的精確性一樣，要求數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究者們更加謹(jǐn)慎。 數(shù)學(xué)語(yǔ)言是精確的，它是如此精確，以致常常使那些不習(xí)慣于它特有形式的人覺(jué)得莫名其妙。如果一個(gè)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“今天我沒(méi)看見(jiàn)一個(gè)人”(I did not see one person today)，那么他的意思可能是他要么一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)，要么他看見(jiàn)了許多人。一般人則可能簡(jiǎn)單地認(rèn)為他一個(gè)人也沒(méi)看見(jiàn)。數(shù)學(xué)的這種精確性，在一個(gè)還沒(méi)有認(rèn)識(shí)到它對(duì)于精密思維的重要性的人看來(lái)，似乎顯得過(guò)于呆板，過(guò)于拘泥于形式。然而任何精密的思維和精確的語(yǔ)言都是不可分割的數(shù)學(xué)風(fēng)格以簡(jiǎn)潔和形式的完美作為其目標(biāo)，但有時(shí)由于過(guò)分地拘泥于形式上的完美和簡(jiǎn)潔，以致喪失了精確竭力要達(dá)到的清晰。假定我們想用一般術(shù)語(yǔ)表述圖1所示的內(nèi)容，我們很有可能說(shuō)：“有一個(gè)直角三角形，畫(huà)兩個(gè)以該三角形的直角邊作為其邊的正方形，然后再畫(huà)一個(gè)以該三角形斜邊作為其邊的正方形，那么第二個(gè)正方形的面積就等于前面兩個(gè)正方形面積之和。”但是沒(méi)有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)用這樣的方式來(lái)表達(dá)自己的想法。他會(huì)這樣說(shuō)：“直角三角形直角邊的平方和等于斜邊的平方。”這種簡(jiǎn)潔的用詞使表述更為精煉，而且這種數(shù)學(xué)表達(dá)式具有重要的意義，因?yàn)樗拇_是言簡(jiǎn)意賅。還有，由于這種惜墨如金的做法，任何數(shù)學(xué)文獻(xiàn)的讀者有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)自己的耐心受到了極大的考驗(yàn)。 數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門(mén)藝術(shù)或一種語(yǔ)言。數(shù)學(xué)更主要的是一門(mén)有著豐富內(nèi)容的知識(shí)體系，其內(nèi)容對(duì)自然科學(xué)家、社會(huì)科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時(shí)影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說(shuō);滿(mǎn)足了人類(lèi)探索宇宙的好奇心和對(duì)美妙音樂(lè)的冥想;甚至可能有時(shí)以難以察覺(jué)到的方式但無(wú)可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進(jìn)程。 數(shù)學(xué)是一門(mén)知識(shí)體系，但是它卻不包含任何真理。與之相反的觀(guān)點(diǎn)卻認(rèn)為數(shù)學(xué)是無(wú)可辯駁的真理的匯集，認(rèn)為數(shù)學(xué)就像是信仰《圣經(jīng)》的教徒們從上帝那兒獲得最后的啟示錄一樣，這是一個(gè)難以消除的、流傳甚廣的謬論。直到1850年為止，甚至數(shù)學(xué)家們也贊同這種謬論。幸運(yùn)的是，19世紀(jì)發(fā)生的一些數(shù)學(xué)事件(這些我們隨后將進(jìn)行討論)向這些數(shù)學(xué)家表明，這種看法是錯(cuò)誤的。在這門(mén)學(xué)科中沒(méi)有真理，而且在它的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上個(gè)世紀(jì)創(chuàng)立的幾何中所確定的一些定理，與歐幾里得在他的幾何學(xué)中所證明的定理就是矛盾的。盡管沒(méi)有真理，數(shù)學(xué)卻一直給予了人類(lèi)征服自然的神奇的力量。解決人類(lèi)思想史上這個(gè)最大的悖論將是我們所關(guān)注的課題之一。 由于20世紀(jì)必須將數(shù)學(xué)知識(shí)與真理區(qū)分開(kāi)，因此也必須將數(shù)學(xué)與科學(xué)區(qū)分開(kāi)，因?yàn)榭茖W(xué)確在尋求關(guān)于物質(zhì)世界的真理。然而數(shù)學(xué)卻無(wú)疑地是科學(xué)的燈塔，而且還繼續(xù)幫助科學(xué)獲得在現(xiàn)代文明中所占的位置。我們甚至可以正確地宣稱(chēng)，正是由于有了數(shù)學(xué)，現(xiàn)代科學(xué)才取得了輝煌的成就。但是我們將會(huì)看到，這兩個(gè)領(lǐng)域有著明顯的區(qū)別。 在最廣泛的意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，使得人類(lèi)的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類(lèi)的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活;試圖回答有關(guān)人類(lèi)自身存在提出的問(wèn)題;努力去理解和控制自然;盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。在本書(shū)中，我們最為關(guān)心的將是這種精神的作用。 數(shù)學(xué)還有一個(gè)更加典型的特征與我們的論述密切相關(guān)。數(shù)學(xué)是一棵富有生命力的樹(shù)，她隨著文明的興衰而榮枯。它從史前誕生之時(shí)起，就為自己的生存而斗爭(zhēng)，這場(chǎng)斗爭(zhēng)經(jīng)歷了史前的幾個(gè)世紀(jì) 和隨后有文字記載歷史的幾個(gè)世紀(jì)，最后終于在肥沃的希臘土壤中扎穩(wěn)了生存的根基，并且在一個(gè)較短的時(shí)期里茁壯成長(zhǎng)起來(lái)了。在這個(gè)時(shí)期，它綻出了一朵美麗的花——?dú)W氏幾何。其他的花蕾也 含苞欲放。如果你仔細(xì)觀(guān)察，還可以看到三角和代數(shù)學(xué)的雛形;但是這些花朵隨著希臘文明的衰亡而枯萎了，這棵樹(shù)也沉睡了一千年之久。 這就是數(shù)學(xué)那時(shí)的狀況。后來(lái)這棵樹(shù)被移植到了歐洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又獲得了在古希臘頂峰時(shí)期曾有過(guò)的旺盛的生命力，而且準(zhǔn)備開(kāi)創(chuàng)史無(wú)前例的光輝燦爛的前景。如果我們將17世紀(jì)以前所了解的數(shù)學(xué)稱(chēng)為初等數(shù)學(xué)，那么我們能說(shuō)，初等數(shù)學(xué)與從那以后創(chuàng)造出的數(shù)學(xué)相比是徽不足道的。事實(shí)上，一個(gè)人擁有牛頓處于頂峰時(shí)期所掌握的知識(shí)，在今天不會(huì)被認(rèn)為是一位數(shù)學(xué)家。因?yàn)榕c普通的觀(guān)點(diǎn)相反，現(xiàn)在應(yīng)該說(shuō)數(shù)學(xué)是從微積分開(kāi)始，而不是以之為結(jié)束。在我們這個(gè)世紀(jì)，這門(mén)學(xué)科已具有非常廣泛的內(nèi)容，以致沒(méi)有任何數(shù)學(xué)家能夠宣稱(chēng)他已精通全部數(shù)學(xué)。 數(shù)學(xué)發(fā)展的這幅素描，盡管簡(jiǎn)略，但卻表明數(shù)學(xué)的生命力正是根植于養(yǎng)育她的文明的社會(huì)生活之中。事實(shí)上，數(shù)學(xué)一直是文明和文化的重要組成部分，因此許多歷史學(xué)家通過(guò)數(shù)學(xué)這面鏡子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典時(shí)期的古希臘文化為例，它大約從公元前600年延續(xù)到公元前300年。由于古希臘數(shù)學(xué)家強(qiáng)調(diào)嚴(yán)密的推理以及由此得出的結(jié)論，因此他們所關(guān)心的并不是這些成果的實(shí)用性，而是教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，和激發(fā)人們對(duì)理想與美的追求。因此，看到這個(gè)時(shí)代具有很難為后世超越的優(yōu)美文學(xué)，極端理性化的哲學(xué)，以及理想化的建筑與雕刻，也就不足為奇了。 數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的缺乏也表現(xiàn)在一個(gè)時(shí)代文明的文化里，這一點(diǎn)也是真實(shí)的。看看羅馬的情況吧。在數(shù)學(xué)史上，羅馬人在一定時(shí)期內(nèi)曾作出過(guò)貢獻(xiàn)，但從那以后他們就開(kāi)始停滯不前了。阿基米德，最偉大的古希臘數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，在公元前221年被突然闖入的羅馬士兵殺害了，當(dāng)時(shí)他正在研究畫(huà)在沙盤(pán)中的幾何圖形。對(duì)此，A．N．懷特海(AlfredNorthWhitehead)說(shuō)過(guò)：阿基米德死于一個(gè)羅馬士兵之手，是一個(gè)世界發(fā)生頭等重要變化的標(biāo)志;愛(ài)好抽象科學(xué)、善長(zhǎng)推理的古希臘在歐洲的霸主地位，被重實(shí)用的羅馬取代了。洛德? 比肯斯菲爾德(LordBeaconsfield)，在他的一部小說(shuō)中，曾把重實(shí)用的人稱(chēng)為是重復(fù)其先輩錯(cuò)誤的人。羅馬是一個(gè)偉大的民族，但是他們卻由于只重實(shí)用而導(dǎo)致了創(chuàng)造性的缺乏。他們沒(méi)有發(fā)展其祖先的知識(shí)，他們所有的進(jìn)步都局限于工程技術(shù)的細(xì)枝末葉。他們并不是那種能夠提出新觀(guān)點(diǎn)的夢(mèng)想家，這些新觀(guān)點(diǎn)能給人以更好地主宰自然界的力量。沒(méi)有一個(gè)羅馬人因?yàn)槌龄嫌跀?shù)學(xué)圖形而喪命。 事實(shí)上，西塞羅(Cicero)夸耀自己的同胞——感謝上帝——不是像希臘人一樣的夢(mèng)想家，而是把他們的數(shù)學(xué)研究派上實(shí)際用場(chǎng)的人。 注重實(shí)用的羅馬帝國(guó)，將其精力用于權(quán)術(shù)和征服外邦。為迎接軍隊(duì)勝利歸來(lái)的拱形的凱旋門(mén)，也許是羅馬帝國(guó)的最好象征，但它們不是顯得得體優(yōu)雅，而是顯得毫無(wú)生氣。羅馬最突出的特征也許是麻木不仁，羅馬人幾乎沒(méi)有真正的獨(dú)創(chuàng)精神。簡(jiǎn)言之，羅馬文化是外來(lái)的，羅馬時(shí)期的大多數(shù)成就主要淵源于小亞細(xì)亞的希臘，此時(shí)小亞細(xì)亞的希臘正處于羅馬政權(quán)統(tǒng)治之下。 這幾個(gè)例子告訴我們，一個(gè)時(shí)代的總的特征在很大程度上與這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動(dòng)密切相關(guān)。這種關(guān)系在我們這個(gè)時(shí)代尤為明顯。在不抹煞歷史學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、哲學(xué)家、作家、詩(shī)人、畫(huà)家和政治家功績(jī)的前提下，我們可以這樣說(shuō)：其他文明已經(jīng)產(chǎn)生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，盡管歐幾里得和阿基米德無(wú)疑地是極其卓越的思想家，盡管我們的數(shù)學(xué)家得以達(dá)到最高的水平，這僅僅是因?yàn)橄衽ｎD所說(shuō)的那樣，他們是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我們這個(gè)時(shí)代，數(shù)學(xué)才達(dá)到了它應(yīng)該達(dá)到的范圍，而且有著不同尋常的用途。這樣，由于數(shù)學(xué)已經(jīng)廣泛地影響著現(xiàn)代生活和思想，今天的西方文明與以往任何歷史上的文明都有著明顯的區(qū)別。也許，在這本書(shū)中，我們會(huì)看到現(xiàn)在這個(gè)時(shí)代是如何受惠于數(shù)學(xué)的。