摘 要 本文總結(jié)了廣譜哲學(xué)對(duì)離散數(shù)學(xué)的分析和應(yīng)用的大量事例，提出了廣譜哲學(xué)對(duì)離散數(shù)學(xué)的三個(gè)基本視角，即哲學(xué)對(duì)象的視角、動(dòng)態(tài)流變的視角和反面轉(zhuǎn)化的視角。文中圍繞這三個(gè)視角，結(jié)合離散數(shù)學(xué)的例子做了具體的剖析和論證。本文對(duì)于應(yīng)用廣譜哲學(xué)的思想方法，開發(fā)和推廣離散數(shù)學(xué)的模式，對(duì)于哲學(xué)和社會(huì)科學(xué)的數(shù)學(xué)化，均具有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞 廣譜哲學(xué) 離散數(shù)學(xué) 新視角

從一定的意義上說，廣譜哲學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是離散數(shù)學(xué)，包括集合論、近世代數(shù)、圖論、形式語(yǔ)言、自動(dòng)機(jī)理論、范疇與函子理論等，但它又不是離散數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，而是根據(jù)哲學(xué)的性質(zhì)和特點(diǎn)，從新的視角對(duì)離散數(shù)學(xué)進(jìn)行了深入的挖掘、拓展、賦予新的含義乃至于做了部分新的改造和制作，因而使離散數(shù)學(xué)具有了許多新質(zhì)的特征。本文只從三個(gè)方面予以探討。

一、哲學(xué)對(duì)象的視角：在離散數(shù)學(xué)的基本概念前加上“哲學(xué)對(duì)象的”定語(yǔ)，以此顯化和模擬單純數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下掩蓋的哲學(xué)機(jī)理。

單純數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)是把離散數(shù)學(xué)的概念、模型和方法看成是純數(shù)學(xué)的對(duì)象，它們從數(shù)學(xué)的例子中抽象出來，再回到數(shù)學(xué)的例子中去。例如集合的概念從數(shù)學(xué)對(duì)象（如各種數(shù)系、無窮大量等）中抽象出來，集合的研究（集合的基數(shù)、勢(shì)、冪、運(yùn)算等）又回到這些對(duì)象中去。又如代數(shù)結(jié)構(gòu)乃至于一般數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的概念起源于數(shù)學(xué)的對(duì)象（如代數(shù)方程可解性研究、數(shù)系封閉性研究、次序關(guān)系研究等），又回到這些對(duì)象中去。因此在一系列數(shù)學(xué)概念，如集合、關(guān)系、映射、 結(jié)構(gòu)、狀態(tài)等等之前是暗中加上了“作為數(shù)學(xué)對(duì)象的”定語(yǔ)的，這至少是離散數(shù)學(xué)研究的主流，正如人們公認(rèn)的“集合論是全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)一樣。盡管一些離散數(shù)學(xué)教科書為了通俗解釋的必要，也偶爾列舉個(gè)別非數(shù)學(xué)對(duì)象的例子，以說明某些離散數(shù)學(xué)的基本概念，但從來沒有把這些基本概念當(dāng)作具有一般事物機(jī)理意義的概念，更沒有把它們看作是適用于哲學(xué)對(duì)象的概念。

應(yīng)該肯定，這種做法從純數(shù)學(xué)的角度上看沒有什么錯(cuò)。但從另一個(gè)角度上看，能夠作為“全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的東西一定隱藏著比全部數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)容更高一級(jí)的東西、能容納更廣泛的內(nèi)容。這在邏輯上沒有什么問題，一般來源于特殊，但一般決不等于各個(gè)特殊的簡(jiǎn)單求和。因此，從單純數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待離散數(shù)學(xué)的基本概念隱藏著一個(gè)危險(xiǎn)，即有可能限制了這些基本概念的應(yīng)用范圍，掩蓋了可能容納的廣泛內(nèi)容。廣譜哲學(xué)正是從這樣的角度來看待離散數(shù)學(xué)的基本概念的。

在廣譜哲學(xué)的視野中，離散數(shù)學(xué)的基本概念，像集合、集合間的各種關(guān)系、性質(zhì)（等價(jià)、半等價(jià)等），抽象的直積空間、映射、多元關(guān)系、結(jié)構(gòu)、同態(tài)、同構(gòu)等是適合于哲學(xué)對(duì)象的，即適合于描述任意的事物和一般事物機(jī)理的，而且經(jīng)過某種改造或轉(zhuǎn)化，可以用來描述辯證的機(jī)制（辯證的矛盾、對(duì)立面的轉(zhuǎn)化、量變與質(zhì)變等等）

例如，相交的運(yùn)算不僅可以獲得兩個(gè)事物集中共同擁有的事物，而且當(dāng)A和B是代表事物的不同性質(zhì)類時(shí)， 就是事物 從一種性質(zhì)類到另一種性質(zhì)類轉(zhuǎn)化時(shí)的過渡區(qū)。由此自然知道，若事物由 變到 ，且 （空集），則意味著某一事物在運(yùn)動(dòng)變化過程中發(fā)生了性質(zhì)上的轉(zhuǎn)變（質(zhì)變）。

又如，在廣譜哲學(xué)的視野中，映射 不僅是像源集 與像集 的單值對(duì)應(yīng)，而且可以表示認(rèn)識(shí)論意義上的主體對(duì)客體的反映（反映方式是 ）及能動(dòng)反映（取決于 的多種形式及其選擇）過程，這時(shí)由該映射誘導(dǎo)的等價(jià)關(guān)系 （通常定義為 所導(dǎo)致的雙射 便可模擬人們從“觀察窗口” （其中 ）反向單值地觀察到子集 的過程。而由所有的觀察方式 做成的集合 不僅反映了人們對(duì)事物的認(rèn)識(shí)存在許多的觀察、控制模式，而且可以據(jù)此引出對(duì)哲學(xué)本體論、哲學(xué)認(rèn)識(shí)論等極有創(chuàng)新價(jià)值的多葉客觀性定理。

應(yīng)該指出，在離散數(shù)學(xué)的基本概念前加上“哲學(xué)對(duì)象”的定語(yǔ)，并不是廣譜哲學(xué)的硬性指派或“強(qiáng)詞奪理”，根源在于離散數(shù)學(xué)（至少其基礎(chǔ)理論部分）已經(jīng)抽象到這樣的高度，以至于只要滿足幾條“公理”便可以“填進(jìn)”任何內(nèi)容。這正如中國(guó)古典詩(shī)詞“格律體”一樣，滿足它們的平仄規(guī)則和對(duì)仗等規(guī)定便可以“填詞”。，誠(chéng)如大數(shù)學(xué)家希爾伯特所說“可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點(diǎn)、線、面”，這正是現(xiàn)代公理化、形式化方法潛在的巨大威力。廣譜哲學(xué)不過是在形式化方法下的一般數(shù)學(xué)形式中找回與它相應(yīng)的一般哲學(xué)內(nèi)容罷了。如果離散數(shù)學(xué)本身沒有抽象到這樣的高度，而是像傳統(tǒng)數(shù)學(xué)那樣以純粹的數(shù)量關(guān)系和直觀的空間形式為對(duì)象（如解析幾何、微積分、線性代數(shù)、數(shù)理方程等），那是無論如何都不能冠以“哲學(xué)對(duì)象”的定語(yǔ)的。

還應(yīng)該指出的是，由于離散數(shù)學(xué)在公理化、形式化意義上的抽象性，使它在人文社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域也得到了越來越多的應(yīng)用和滲透，例如在經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域。但后者與廣譜哲學(xué)的視角不同，它們只是按照從一般到特殊的邏輯去論證與整理各學(xué)科的材料，而沒有在“哲學(xué)對(duì)象”的層面上去理解離散數(shù)學(xué)的基本概念，沒有把這些數(shù)學(xué)對(duì)象看成是與哲學(xué)機(jī)理相應(yīng)相稱的對(duì)象，更談不到依據(jù)哲學(xué)的性質(zhì)和特點(diǎn)去改進(jìn)它們。

最后，廣譜哲學(xué)對(duì)離散數(shù)學(xué)的基本概念之所以持有“哲學(xué)對(duì)象”的視角，也是唯物主義原則的一種應(yīng)用。唯物主義認(rèn)為任何觀念的東西(數(shù)學(xué)概念亦不例外)不外是客觀存在的反映。因此，廣譜哲學(xué)極力追尋數(shù)學(xué)概念背后隱藏的一般事物機(jī)理就是毫不奇怪的了。

二、動(dòng)態(tài)流變的視角：引入真實(shí)的時(shí)間變量，在流變中考察離散數(shù)學(xué)的基本概念，使固定的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)框架成為流動(dòng)的、變化的框架。

離散數(shù)學(xué)一般不研究客觀世界的演變過程，它是從靜態(tài)結(jié)構(gòu)的角度刻劃各類研究對(duì)象。例如，集合這個(gè)概念就是一個(gè)相對(duì)靜態(tài)的、既存事物的整體，通常記為 （當(dāng) 從1到無窮時(shí)， 便是無窮集合）。盡管這里的“既存事物” 除了現(xiàn)存事物外，還可以包括按一定必然性將要出現(xiàn)的事物（例如， 是星球演化諸階段各種形態(tài)的全體組成的集合，或 是按一定概率出現(xiàn)的事件全體的集合），但一旦成為集合，它就把一個(gè)動(dòng)態(tài)對(duì)象變成了一個(gè)靜態(tài)的對(duì)象，或者把過程變?yōu)橐粋€(gè)個(gè)離散的結(jié)果。

又如，半序結(jié)構(gòu)（ ≤），其中半序關(guān)系“≤”滿足自返性、反對(duì)稱性和傳遞性，這里沒有引入時(shí)間、環(huán)境等可變因素，那么，一種半序結(jié)構(gòu)形成之后不再發(fā)生變化了嗎？例如雇傭關(guān)系、控制關(guān)系、領(lǐng)導(dǎo)與被領(lǐng)導(dǎo)關(guān)系等都是半序結(jié)構(gòu)，那么，這些關(guān)系是凝固不變的嗎？顯然不是，現(xiàn)實(shí)的客觀世界是處處流變的，是按時(shí)間之矢展開為一個(gè)過程的。因此，廣譜哲學(xué)在諸多基本數(shù)學(xué)概念中引入了時(shí)間概念，以描述各種集合、關(guān)系和結(jié)構(gòu)的變化過程。

舉個(gè)簡(jiǎn)單而富有啟發(fā)性的例子。人們知道，等價(jià)關(guān)系 是滿足自返性、對(duì)稱性和傳遞性的序偶的集合，用等價(jià)關(guān)系可以對(duì)任何事物集 進(jìn)行分類 ，其中 。為了描述等價(jià)關(guān)系對(duì)于研究事物流變的意義，廣譜哲學(xué)引入了時(shí)間參量，提出了自等價(jià)的概念。所謂自等價(jià)就是自我等價(jià)，即在時(shí)間的推移中事物自己與自己等價(jià)。也就是說，隨著時(shí)間的推移，一個(gè)對(duì)象事物可以經(jīng)歷種種變化，但可能有某些基本的性態(tài)（如性質(zhì)、狀態(tài)、結(jié)構(gòu)、序關(guān)系等）保持不變，這時(shí)就稱該事物相對(duì)于這些性態(tài)是自等價(jià)的。用數(shù)學(xué)形式表示，就是考慮事物的變域 （ 為時(shí)間參量集）， 為變域 上的某種等價(jià)關(guān)系，若在 的某個(gè)區(qū)間 內(nèi)， 就稱事物 對(duì)于 是自等價(jià)的。由于這種自等價(jià)性反映了事物在流變中的穩(wěn)定性，因而又可引出 —自穩(wěn)性等概念，由此可導(dǎo)出一系列用于研究事物、系統(tǒng)演化的重要結(jié)論。

廣譜哲學(xué)對(duì)于離散數(shù)學(xué)中的自同構(gòu)、自同態(tài)等概念也有類似的理解（它們可以看成是自等價(jià)概念的特殊情形）。例如，自同構(gòu)是事物系統(tǒng)在時(shí)間推移中廣義結(jié)構(gòu)的不變性，而自同態(tài)則是事物系統(tǒng)在時(shí)間推移中基本特征的不變性。這些概念都可以成為觀察、描述和分析任意對(duì)象事物的演化、穩(wěn)定與控制問題的有力工具。例如，無論是資本主義國(guó)家還是社會(huì)主義國(guó)家、統(tǒng)治階級(jí)對(duì)起主導(dǎo)作用的基本經(jīng)濟(jì)制度、基本政治制度、基本意識(shí)形態(tài)等都力圖保持其穩(wěn)定性，如果把它們抽象為一定的主序結(jié)構(gòu)，那么，這就是一個(gè)主序結(jié)構(gòu)的自同構(gòu)或自同態(tài)問題。

顯然，廣譜哲學(xué)在離散數(shù)學(xué)的基本概念中引入時(shí)間參量，不是從純數(shù)學(xué)的角度考慮的，而是從真實(shí)的客觀世界的實(shí)際中考慮的，也是辯證法和辯證邏輯的一個(gè)必然要求。例如，在這一視角下，像上面所談的等價(jià)性、同構(gòu)性、同態(tài)性就不僅僅反映了不同事物之間的有差異的同一性，而且反映了同一事物在前后相繼的狀態(tài)改變中流變的同一性。熟悉列寧《哲學(xué)筆記》的讀者應(yīng)該知道，這是辯證邏輯的一個(gè)極好的應(yīng)用例證。

三、反面轉(zhuǎn)化的視角：顯化或引入一定的數(shù)學(xué)程序，使不同的集合、關(guān)系和結(jié)構(gòu)互相轉(zhuǎn)化。

從廣譜哲學(xué)的觀點(diǎn)上看，離散數(shù)學(xué)中的一些重要概念和關(guān)系已經(jīng)涉及到了“向?qū)α⒚娴霓D(zhuǎn)化”或“向自己的反面的轉(zhuǎn)化”，只是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀沒有這樣看問題，具有不自覺性。例如，反序同構(gòu)的概念，事實(shí)上是通過同構(gòu)對(duì)應(yīng)這一條件，實(shí)現(xiàn)了序與反序的對(duì)立面轉(zhuǎn)化。如果把序關(guān)系理解為一種廣泛存在于客觀世界中的反對(duì)稱關(guān)系，諸如統(tǒng)治關(guān)系、專政關(guān)系、矛盾的主次關(guān)系等等，那么，序與反序的轉(zhuǎn)化就意味著事物性質(zhì)的蛻變，是一事物向他事物的轉(zhuǎn)化，因而是事物質(zhì)變的一種典型形式。從這一觀點(diǎn)看問題，則自對(duì)偶同構(gòu)的概念就意味著同一事物在流變過程中自己向自己的對(duì)立面轉(zhuǎn)化。例如，前蘇聯(lián)和東歐社會(huì)主義國(guó)家蛻變?yōu)橘Y本主義國(guó)家，不管具體原因和內(nèi)外條件如何，其實(shí)質(zhì)都是主導(dǎo)序（統(tǒng)治與被統(tǒng)治，專政與被專政等）的自對(duì)偶同構(gòu)，是社會(huì)主義國(guó)家向著自己的對(duì)立面——資本主義國(guó)家的轉(zhuǎn)化。

廣譜哲學(xué)的反面轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，不僅揭示了離散數(shù)學(xué)中一系列的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系(類似的有反序同態(tài)、自對(duì)偶同態(tài)、商集的內(nèi)外轉(zhuǎn)化等等)，而且開發(fā)了若干新的轉(zhuǎn)化形式，諸如廣譜演化論的同類變與異類變，廣譜陰陽(yáng)論的陰陽(yáng)主序互轉(zhuǎn)等等。這里我們只考察一個(gè)極簡(jiǎn)單的關(guān)系轉(zhuǎn)化的例子，以了解廣譜哲學(xué)令人驚奇的思維方式。

人們知道，集合的屬于關(guān)系和包含關(guān)系是兩種最基本、最簡(jiǎn)單的關(guān)系，但性質(zhì)不同。屬于關(guān)系 是元素 對(duì)集合 的關(guān)系，而包含關(guān)系 是子集 對(duì)母集 的部分對(duì)整體的關(guān)系。在廣譜哲學(xué)看來，若 表示a是區(qū)域 中的一個(gè)點(diǎn)子，這時(shí)點(diǎn)子 相對(duì)于區(qū)域 而言相當(dāng)于一個(gè)黑箱，即點(diǎn)子內(nèi)部的信息是屏蔽的。但表達(dá)式 表示 是A的一個(gè)子集，表明 有可分辨的結(jié)構(gòu)，相當(dāng)于 是白箱或灰箱。譬如若A是一個(gè)平面區(qū)域，則 是平面上的部分區(qū)域。這樣一來，一個(gè)對(duì)象事物 對(duì)于某一集合是屬于關(guān)系還是包含關(guān)系就轉(zhuǎn)化為人們視野中的黑箱和白箱（或灰箱）的關(guān)系，因而具有了對(duì)立面的性質(zhì)。這樣一種奇特的視角自然會(huì)引發(fā)這兩種關(guān)系如何發(fā)生對(duì)立面轉(zhuǎn)化的新思路。

不難設(shè)想，如果有某種機(jī)制 ，使 ，則表示 是對(duì) 的某種白箱化或灰箱化，使 由不可觀測(cè)（內(nèi)部信息）變?yōu)榭捎^測(cè)（部分信息）。反之，若有另一種機(jī)制 ，使 ，則表示 是對(duì)A的黑箱化、“點(diǎn)子”化，使a由可觀測(cè)變?yōu)椴豢捎^測(cè)。舉個(gè)通俗的例子，假定 是某一個(gè)大城市的建筑布局， 表示這個(gè)城市的一部分（部分建筑布局或一個(gè)區(qū)域），則P-1是表示飛機(jī)上升到足夠的高度后乘客對(duì) 的大范圍投影，這時(shí) ，即該城市（ ）被充分縮小（ ），而該城市的一部分 被龜縮成該城市的一個(gè)點(diǎn)子 。反之，若P是表示飛機(jī)下降到足夠的高度后乘客對(duì) 的觀察，則 ，即該城市（ ）被充分放大（ ），而其中的一個(gè)“點(diǎn)子” 被放大成該城市的一個(gè)區(qū)域 。

顯然，在這里關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件（機(jī)制 或 ）如何數(shù)學(xué)地構(gòu)造出來。對(duì)不同的問題，p或p-1有不同的表現(xiàn)形式。在廣譜哲學(xué)中，從不同的觀察水平上探討“有”與“無”的相互轉(zhuǎn)化，可觀性與不可觀性的互相轉(zhuǎn)化等，都屬于上面思路的具體應(yīng)用。

綜上所述，廣譜哲學(xué)對(duì)離散數(shù)學(xué)的新視角，不僅使我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的理解大大超出了純數(shù)學(xué)的范圍（已擴(kuò)展到一般事物機(jī)理和哲學(xué)對(duì)象的范圍），而且也使我們對(duì)離散數(shù)學(xué)的理解超出了靜態(tài)的結(jié)構(gòu)分析的范圍，即使我們能夠從動(dòng)態(tài)流變的、辯證轉(zhuǎn)化的角度深化和拓展離散數(shù)學(xué)框架的意義，從而在一定的意義上，促使離散數(shù)學(xué)成為適用于充分廣泛知識(shí)譜系（包括哲學(xué)譜系）的、具有“無限變化玄機(jī)”的數(shù)學(xué)模式。當(dāng)然，本文的分析還僅僅是初步的，但我們相信，廣譜哲學(xué)的這種新的研究方式，將為開發(fā)離散數(shù)學(xué)、對(duì)離散數(shù)學(xué)在更大范圍內(nèi)的應(yīng)用打開一個(gè)新的局面。