論文關鍵詞:價格 期限 數學模型

論文摘要:果樹種植業的土地租賃期限與果農的銀行貨款有著密切的經濟聯系，而水果的市場銷售價格則直接關系到果農的收益，影響著果農種植水果的積極性。因此，構建科學的水果價格模型及果樹種植土地租賃期限模型，可以為果農的水果種植效益最大化提供幫助。

一、問題的提出

2008年江西省臍橙“大年”，雖然每天從農貿市場發往全省各地的臍橙大約 10o噸左右，但等待銷售的臍橙還是很多。果農們著急 ，因為不盡快出手 ，臍橙存放會增加成本 ，影響水果品質，造成極大的損失，無奈之下，只好降價銷售。其價格由2008年的每公斤 4元～4．4元降至 20o9年的2．7元～3．1元 ，已創近五年來新低。再降價，果農們就沒有贏利空間了，這將極大地挫傷果農們的生產積極性。

果樹種植是一項投資巨大、周期一定的農業經營活動。假設銀行貸款利息以貸款的那一天為準．到還清貸款前一直保持不變，合同期滿后 ，果樹林和地皮歸當地政府所有。果農從銀行貸款承包土地 、購買幼苗、雇傭工人 、種植果 樹直到產 生經濟效益 的整個 過程．需要 經過若 干年 的時間。果實成熟 后開始 出售 ，果農 才可 以開始 向銀 行還本付息，再經過若干年的時間，他們才能把銀行的貸款和利息等費用還清，也就是到這一年農戶才能平本。這就是說，果農至少需要簽訂多年的合同，此后才能開始獲取投資利潤。如果合同簽訂時間過短，果樹結果量未達到最旺期，利潤是無法保障的。因此，果農在承包果樹林時必須首先考慮這樣一個重要問題 ：合同簽定期限到底需要多長時間，才能獲取最大利潤?筆者就以上兩個問題分別建立模型進行了研究。

二、最合理的價格模型

引起商品價格波動的因素很多，如供應量大小，物流是否通暢，質量優劣 ，是否為品牌，有消費群體承受能力的因素等等，而引起商品價格波動最重要的因素為供求關系。 假定市場價格只受 自由競爭的供求關系所調節 ，從消費者角度出發，某種商品價格低 ，購賣者就多 ，反之就少；站在生產者角度來說，商品價格低 、利潤小 ，生產者就會減少該商品的生產 ，造成該商品供不應求 ，商品價格上漲 ；商品價格上漲，又會促使生產者競相擴大生產，導致商品過剩，供過于求，商品價格下跌，如此惡性循環。

我們要研究的就是：在什么情況下．市場商品供銷兩旺 ，價格趨 于平穩 。以臍橙 為例 ，如何 安排 不 同品種 、不同時間、供應不同數量臍橙上市 ，才能使臍橙價格穩定。當市場將要出現波動時，政府或有關主管部門．應該預先采取措施 ，進行宏觀指導，必要時進行科學的調控。如何做到科學合理的指導和調控 ，需要有一定的科學數據作為依據，以便作出較正確的決策。

隨著計算機技術的發展和數學 在經濟學中的廣 泛運用 ，逐步實現了經濟學從定性到定量 ，從描述性到精確化，并朝著前景可預測性方向發展。通過對某種商品價格的數學建模研究與實驗。可以得到該商品價格的數據和符合客觀的規律 。

筆者采用函數 圖象法先來作價格模型的定性分析和討論 。

記 Q表示產品數量 ，為產品價格 ，那么，Q=Q(P是 價格 的函數 ．是 由供應商確定的單調增加的，記 D為需求 數量 ，D=D(P1那 么是由消費者確定的需求函數 ，是單調遞減函數。 在直角坐標系中畫出圖 1。現在討論在什么情況下 。市 場 的供求關系可 達到平衡 。

從供應曲線 S上任一點 a出發． 按需求曲線成交的價格為 p0(消費者認為，東西多，價格應該便宜)，即 a—b。而一旦價格跌到了p。，生產者就要將產量從 Q。降到 Q ，即b—c(因為價格低 ，生產者認為利潤太少而減少產量 )，對于消費者來說，產量 Q：很少，對應價格應為 p ，即 c—d價格上升，生產者利潤增加而加大產量，如此下去有 d—e—f g一 ……，顯然供求關系將趨于曲線 S與曲線 D的交點——平衡點 A。

當然，也有可能產生供求關系循環現象，如圖3所示。 由以上 3個圖形可知 ，供求關系有時趨向于平衡點．有時偏離平衡點。那么，供求關系趨向于平衡點，還是偏離平衡點，其運行規律及影響因素是怎樣的呢? 比較圖 1和圖2可以看出，當需求曲線 D的斜率的絕對值小于供求曲線 S的斜率時，市場趨于平衡 ，反之則不平衡。直觀上 ，D平坦就表示消費者對市場很敏感(價格低一點，就購買許多商 品)，為了使供求關系趨于平衡 ，有時需要政府一定的干預。

如果產品的成本增加了，那么增加的這部分成本是由消費者承擔，還是由政府補貼?這就涉及到邊際成本。在圖4中，虛線表示邊際成本增加后的供應曲線S，(邊際成本曲線)。當需求曲線比較平坦時(需求曲線D。)，生產者所需負擔的成本增加部分要大些．此時。生產者負擔為面。用戶負擔為面 。平坦的需求曲線表示用戶對價格非常敏感。如果用戶對價格不敏感，需求曲線會比較陡。此時生產者可以少負擔一部分費用(面 部分)而大部分增加的費用轉嫁給了用戶，(瓦 部分)。

三、最佳土地租賃期限模型

1．為了更好地理解模型做以下符號說明

t表示時間，以年為單位 ；X(I1表示第 t年前(含第 t年)每畝果樹結果總量 ；r(c)表示每畝果樹結果固有增長率；N表示種植面積數，以畝為單位 ；P“)表示第 t年前(含第 t年)單位重量果實的最低售價；R(I1表示第 t年合同到期農戶所得利；U表示貸款那天銀行貸款利息率；F(1)表示農戶獲得最大利潤 目標函數；8表示折扣因子 ，是付給銀行的實際利率；V(t)表示除去通貨膨脹因素后果實的實際價值 ；M。表示t=o(貸款時刻記著 t=0)時的貸款數額 ；M(1)表示第 t年應還本付息數額 ；C(t1表示第 t年(含第 t年)管理、收果 、地租等費用；C，(t))表示第 t年(t>t‘)管理、收果、地租等總費用；

2．模型假設

(B )不考慮果樹生產受地理環境的影響，在生產經營過程中，不考慮果樹受自然災害等條件影響

(Bj)每畝所種果樹勻成活且數目基本相同

(B3)所種 N畝果樹，每畝每年都遵從 stic規律 ，即

3．模 型建立

模型的目標函數是農戶獲得最大利潤，本可用公式(2)為 目標涵數 ，但實際并不是，原因是要按 (4)式的關系還本付息，從而要將第 t年前的利潤 R(t)折算到 t=O時價值才是可取的目標函數 ，用 F(t)表示，則

4．模型求 解

以 F(t)為可取 目標函數確定投資合同期 ，從 而問題轉化為求 t使 F(1)達到極大值，由微積分知識對f9)式求導得

從(18)式可看出它是關于 V(t )的一個二次方程 ，V(t ) 必須是方程的正根 ．可用圖解法來說明此方程有且只有一 個正根。如圖7所示。

為說明t：t 時，F-t 取得極大值，只要驗證 t 滿足條件(12)和(13)兩式即可，利用(1 0)和(11)可以說明(13)式成立。由上計算過程可知 ．投資須在 0至 t 年間全部還清貸款，否則虧本。到 t年時還訂多少年合同要由 來決定。

5．結果分析

從經濟學角度來考慮，由(1 2)式可確定投資合同期 ，引用折扣因子 ，比較農戶在第 t年f含第 t年)和第t年(含 t+1年)前的損失和得益 ，損失是實際利潤的減少。 V (f)=V(1+1)一V(I)，得益相當于第 t年(含 t)所得的實際利潤 V(【)存入銀行一年之后得到的實際利息，即 (因為 8>O且充分小，所以 )，如果 ，即損失大于得益．說明合同定的太短 ，因為讓果樹少一年結果帶來損失大于這一年得益；反之， ，損失小于得益 ，說明合 同定的過長 ，所以只有取 成立才能使果農獲得最大利潤 ，這是沒有考慮逐年還貸的結果 ，到第 t +1年起 ．只要扣除管理、收果、地租等費用 ，剩下就是純利潤，所以只要，仍然可延長合同。