摘要：數(shù)學是一門應用廣泛的學科，加強學生應用能力的培養(yǎng)是高等數(shù)學課程教學的重點之一。數(shù)學模型是溝通實際問題與數(shù)學工具之間的橋梁。利用數(shù)學建模可提高學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的能力。

關鍵詞：高職；數(shù)學模型；應用能力

數(shù)學最顯著的特點之一就是其應用極其廣泛。在我們日常生活中隨處都能找到數(shù)學的影子。在社會生活的各個領域，都在運用著數(shù)學的概念、法則和結論。很多看似和數(shù)學無關的問題都可以運用數(shù)學工具加以解決。但很多高職學生由于基礎薄弱，學習數(shù)學的興趣不高，不知道數(shù)學有什么用途，他們認為數(shù)學是枯燥無味的，學習數(shù)學就是為了應付考試。而現(xiàn)在數(shù)學素養(yǎng)已成為公民文化素養(yǎng)的重要內容，更是大學生不可或缺的基本素質。高等數(shù)學教學一個很突出的方面就是培養(yǎng)學生的應用能力。數(shù)學模型是溝通實際問題與數(shù)學工具之間的橋梁，建立和處理數(shù)學模型的過程，實際上就是將數(shù)學理論知識應用于實際的過程。本文擬就數(shù)學模型在教學中的應用作粗淺探討。

重視知識應用過程，提高學生學習數(shù)學的興趣

學生能否對數(shù)學產生興趣，主要依賴于教學過程，與教學內容和教學方法的選擇和應用密切相關。因此，教師必須在教法和學法指導上多下工夫，狠下工夫，從數(shù)學應用的角度處理數(shù)學、闡釋數(shù)學、呈現(xiàn)數(shù)學，以提高學生的數(shù)學理論知識和操作水平；必須加強數(shù)學應用環(huán)節(jié)的實踐，注重用數(shù)學解決學生身邊的問題，用學生容易接受的方式展開數(shù)學教學，注重學生的親身實踐；必須重視在應用數(shù)學中傳授數(shù)學思想和方法，把培養(yǎng)學生解決實際問題的能力作為教學內容的主線，運用“問題情境—建立模型—解釋與應用”的教學模式，多角度、多層次地編排數(shù)學應用的內容，有效地激發(fā)學生的學習興趣。

例1：7只茶杯，杯口全部向上，每次翻轉其中的4只(杯口向上的變?yōu)楸谙蛳拢谙蛳碌淖優(yōu)楸谙蛏?。能否經(jīng)過有限次的翻轉，使得7只茶杯的杯口全部向下？

分析：將7只茶杯用字母分別表示為Ａ1、Ａ2、…Ａ7，茶杯的杯口朝上記為Ａi=+1，杯口朝下記為Ａi=－1（ｉ=0，1，2，…7），每次翻轉改變其中的4只杯子的杯口方向，相當于7個字母中的4個字母取值改變符號，即相當于將其中4個字母各乘以－1。

問題歸結為：已知7個字母Ａ1、Ａ2、…Ａ7，在開始時全部取值為+1，每次改變其中4個字母的符號，經(jīng)過有限次后能否將7個+1變?yōu)?個－1？

解析：考察經(jīng)過第ｉ次翻轉的7個字母的乘積Ｍi=Ａ1Ａ2…Ａ7，開始的時候相當于7個字母取值全為+1，它們的積Ｍ0=Ａ1Ａ2…Ａ7=（+1）7=+1；經(jīng)過一次翻轉后，Ｍ1=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ0（－1）4=+1；經(jīng)過兩次翻轉后，Ｍ2=Ａ1Ａ2…Ａ7=Ｍ1（－1）4=+1；……所以不論經(jīng)過多少次翻轉，7個字母的乘積保持不變，仍為+1。另一方面，杯口全部朝下，相當于7個字母全部取值為－1，它們的乘積是－1。這就表明，經(jīng)過有限次的翻轉，7個+1絕不會變?yōu)?個－1。因此，經(jīng)過有限次的翻轉，不能使7只茶杯的杯口全部朝下。

例2：某人第一天上午8點由山下出發(fā)，下午15點抵達山頂；第二天上午8點由山頂出發(fā)按原路返回，并于下午15點回到山下原出發(fā)點。問在兩天的行程中是否存在這樣一個點，該人經(jīng)過這個點時，兩天的手表指向同一時刻？

分析：這個問題初看起來不容易得到答案。我們可以換一個角度思考，把該人在兩天中做的事改到同一天中來做，設想將這個人再“克隆”出一個人來，上午8點該人由山下出發(fā)，而“克隆人”同時由山上出發(fā)，由于走的是同一條路線，因此該人與其克隆人必定在中途相遇，在相遇點處，則手表指向同一時刻。

下面用數(shù)學工具證明。該問題與行走的路線長度、形狀無關，不失一般性，不妨設行走的路線是線段ＡＢ，設行走的時間ｔ是位置ｘ的連續(xù)函數(shù)。

第一天，Ａ→Ｂ，設ｔ=ｆ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；第二天，Ｂ→Ａ，ｔ=ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。

問題歸結為：已知連續(xù)函數(shù)ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ），Ａ≤ｘ≤Ｂ，且ｆ（Ａ）=8，ｆ（Ｂ）=15；ｇ（Ａ）=15，ｇ（Ｂ）=8。求證：存在點ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。

證明：設Ｈ（ｘ）=ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）Ａ≤ｘ≤Ｂ，則Ｈ（ｘ）也是連續(xù)函數(shù)，且Ｈ（Ａ）=ｆ（Ａ）－ｇ（Ａ）=8－15<0，Ｈ（Ｂ）=ｆ（Ｂ）－ｇ（Ｂ）=15－8>0，因此存在ｘ0∈[Ａ，Ｂ]，使得Ｈ（ｘ0）=0，即ｆ（ｘ0）=ｇ（ｘ0）。

通過趣味數(shù)學應用的案例分析與數(shù)學建模，體現(xiàn)了數(shù)學應用的廣泛性，在一定程度上幫助學生看到數(shù)學生動、有趣、甚至好玩的一面，以豐富數(shù)學學習的內容，提高學生學習數(shù)學的積極性、主動性、探索性。 另外，課堂教學中應充分發(fā)揮學生的主體作用和教師的主導功能。教師可根據(jù)教學內容的特點，精心組織、科學設計，把抽象的概念、深奧的原理，寓于生動、有趣的典故、發(fā)現(xiàn)史中，適當、合理地運用圖片、模型、多媒體教學等手段，促進理論與實際的有機結合，使學生產生濃厚的學習興趣。只有當學生有了學習興趣，思維達到“興奮點”，才能帶著愉悅、激昂的心情去面對和克服一切困難，執(zhí)著地去比較、分析、探索認識對象的發(fā)展規(guī)律，展現(xiàn)自己的智能和才干。這無疑是讓學生體驗成功的重要舉措，更是提高學生數(shù)學興趣的有效途徑。當學生應用數(shù)學知識去解決了一個個實際問題，他們的學習興趣必將被更進一步地激發(fā)起來，成為進一步學習的內驅力。

通過“數(shù)學建模”活動和教學，培養(yǎng)學生運用數(shù)學的能力

培養(yǎng)學生數(shù)學應用能力是高職數(shù)學教育的根本任務，是數(shù)學教學目的中的重要內容。數(shù)學應用能力是一種綜合能力，它離不開數(shù)學運算、數(shù)學推理、空間想象等基本的數(shù)學能力。應把應用問題的滲透和平時教學有機地結合起來，循序漸進。在數(shù)學應用意識和能力的培養(yǎng)中，應特別重視學生探索精神和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，把數(shù)學應用問題設計成探索和開放性試題，讓學生積極參與，在解題過程中充分體現(xiàn)學生的主體地位。在運用數(shù)學知識去解決實際問題時，首先要建構實際問題的數(shù)學模型，然后用數(shù)學理論和方法找出結果并用于實際，這樣既可解決實際問題，又能促進數(shù)學新思想、新理論的建立和發(fā)展。因此“數(shù)學建模”是溝通數(shù)學理論與實際的中介和橋梁，培養(yǎng)學生“數(shù)學建模”能力是培養(yǎng)學生數(shù)學思維和應用能力的重要手段，在教學過程中穿插建模能力訓練對學生是十分必要的。培養(yǎng)學生建模能力是一個循序漸進的過程。開始應從簡單問題入手，師生共同創(chuàng)建模型，引導學生初步掌握應用數(shù)學形式建構模型的方法，培養(yǎng)學生積極參與和勇于創(chuàng)造的意識。隨著學生能力和經(jīng)驗的增加，可通過實習作業(yè)或小組活動的形式，由學生展開分析討論，分析每種模型的有效性，提出修改意見，討論是否有進一步擴展的意義。這樣可以糾正學生理解上存在片面性的問題，在不斷發(fā)展、不斷創(chuàng)造中培養(yǎng)信心。雖然高職學生的數(shù)學基礎知識對于某些數(shù)學模型的建立略顯不夠，但只要花很短的時間補一下，還是可以解決問題的，關鍵是培養(yǎng)學生如何將所學數(shù)學理論與實踐相結合的能力。

例如，高等數(shù)學中一個非常簡單的一階微分方程ｄxｄt=ｒx（ｘ－ｋ）在商業(yè)上可解釋為新產品的銷售模型，在醫(yī)學上可解釋為傳染病的傳播模型，在生物學方面，它就是著名的Logestic模型，用以解釋生物在一定約束條件下的數(shù)量增長模式。這樣，簡單的數(shù)學問題便得以廣泛地應用。通過這樣的教學過程能夠使學生開闊眼界，將數(shù)學知識應用到實際生活之中。

結合專業(yè)，提高學生應用數(shù)學的能力

在“數(shù)學建模”課程中，除介紹一些社會或經(jīng)濟中的數(shù)學應用問題外，還要根據(jù)不同專業(yè)對數(shù)學的應用水平及方法的不同要求，總結數(shù)學應用的內容、方法的差異性，找到各專業(yè)與數(shù)學的結合點，用具體的專業(yè)例子，歸納應用數(shù)學的各種模型，并以此為例，培養(yǎng)各專業(yè)學生應用數(shù)學的興趣。一般來講，對一個專業(yè)問題，要建立一個數(shù)學模型，就必須了解專業(yè)上的一些規(guī)律和經(jīng)驗，提出許多與量有關的合理假設。根據(jù)專業(yè)知識，利用規(guī)律，通過一些數(shù)學方法，如微元法等，列出等式，即可建立一個數(shù)學模型。建立了數(shù)學模型，就找到了實際問題的規(guī)律及解釋方法。數(shù)學模型可以表現(xiàn)為專業(yè)公式或定性結果等。有了這樣的初步認識，學生就可以知道，要想建立模型，首先，要進行專業(yè)性的實驗、調查、分析，得到反映問題本質的量的概念、量之間的關系以及影響結果的一些因素；其次，需分析這些因素之間以何種形式相互影響，是否要利用其他的基礎學科，如物理學、力學等的規(guī)律，繞開次要因素，簡化因素間的影響關系，作出合理簡化假設；最后，根據(jù)問題的性質如連續(xù)型、離散型、隨機型、模糊型等，列出數(shù)學方程或函數(shù)、限制條件等，將專業(yè)問題完全轉化為一個數(shù)學問題，用我們學過的數(shù)學方法解決它。例如，在機械專業(yè)的《機械設計》中二級圓柱齒輪減速器的傳動比最優(yōu)分配模型為minｆ（Ａ）=2Ａ（ｉ+ｉ－1+2）/d，其中，Ａ為中心距，d為齒輪分度圓直徑，ｉ為等級減速比。該模型根據(jù)幾何原理即可得出，它是一個一維無約束最小化問題d。在實際教學中，有許多專業(yè)問題學生都能夠利用所學的專業(yè)知識和數(shù)學知識建立數(shù)學模型，這樣既復習了所學數(shù)學知識，又提高了解決專業(yè)實際問題的能力。

總之，數(shù)學建模解決問題的實質是學生運用數(shù)學的思想、觀點、方法等與客觀世界相互作用，最終達到解決實際問題為目的的創(chuàng)造性活動。建模的整個過程是數(shù)學應用能力的綜合體現(xiàn)，也為培養(yǎng)學生這方面的能力提供了一個有益的途徑。

參考文獻：

[1]唐煥文，賀明峰.數(shù)學模型引論（第2版）[M].北京：高等教育出版社.2001.

[2]徐全智，楊晉浩.數(shù)學建模[M].北京：高等教育出版社，2003.