[摘要]幾何畫板的動態(tài)性和形象性，能夠讓學(xué)生在動態(tài)中觀察變動中不變的數(shù)學(xué)規(guī)律，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)，探索問題，充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，有效地提高了教學(xué)效率和教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]幾何畫板 數(shù)學(xué)教學(xué) 應(yīng)用

幾何畫板是一個適用于教學(xué)的軟件平臺。幾何畫板最大的特點是“動態(tài)性”，即可以用鼠標(biāo)拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變的規(guī)律，深入幾何的精髓，突破傳統(tǒng)教學(xué)的難點，為學(xué)生提供了探究的機(jī)會，極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效地提高了教學(xué)效果。

下面就圓錐曲線的知識，談一談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用。

一、幾何畫板的理論依據(jù)——建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀

建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個積極主動地建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者不是被動地接受外在信息，而是根據(jù)先前的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動地和有選擇地接受外在信息，建構(gòu)當(dāng)前事物的意義。也就是說，知識的獲得是通過學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助于他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過人際間的協(xié)作活動而實現(xiàn)的意義建構(gòu)過程。因此，在教學(xué)過程中不能離開學(xué)習(xí)者的背景知識和經(jīng)驗，要充分尊重學(xué)生的主體性。

幾何畫板的動態(tài)性和形象性，給學(xué)生創(chuàng)造一個實際“操作”幾何圖形的環(huán)境，使學(xué)生在體驗與發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在較短的時間內(nèi)產(chǎn)生許多經(jīng)驗。學(xué)生在通過對幾何圖形進(jìn)行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，通過自己的思考建立自己的數(shù)學(xué)理解力，從而更有助于理解和證明。

二、教會學(xué)生使用幾何畫板軟件

問題1.在橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，為了更形象地讓學(xué)生在動態(tài)中觀察橢圓的運(yùn)動現(xiàn)象，探究橢圓的性質(zhì)，首先，我把制作橢圓的過程教給學(xué)生。

（1）在平面上作線段F1F2，度量出其長度，定義為2c。

（2）在同一平面上作一條線段AB，度量出其長度，定義為2a，使a>c。

（3）在線段AB上任取一點C，“構(gòu)造”線段AC，度量AC的長度；“構(gòu)造”線段BC，度量BC的長度。

（4）以線段AC為半徑，以點F1為圓心，“構(gòu)造”圓C1。

（5）以線段BC為半徑，以點F2為圓心，“構(gòu)造”圓C2。

（6）圓C1與圓C2交于點M，M1，“構(gòu)造”線段MF1、MF2（提示：|MF1|=|AC|，|MF2|= |BC|），并選擇“跟蹤”點 M，M1。

（7）計算|MF1|+|MF2|的值。

（8）選中點C，在編輯菜單下操作類按鈕設(shè)置為動畫，標(biāo)記為“軌跡”。

（9）當(dāng)鼠標(biāo)點擊“軌跡”按鈕時，點M，M1運(yùn)動，運(yùn)動的軌跡是橢圓。（或拖動點C在AB上運(yùn)動，出現(xiàn)點M，M1的軌跡是橢圓。）

在點M運(yùn)動的過程中，學(xué)生觀察到|MF1|+|MF2|的值始終保持不變，即橢圓滿足下列條件的點的集合：

P＝｛M｜|MF1|+|MF2|＝2a｝

很容易得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離之和是常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡稱為橢圓。對進(jìn)一步利用“坐標(biāo)法”研究曲線（橢圓）的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用曲線的方程討論曲線的性質(zhì)，解決幾何問題，起到了很重要的作用。

幾何畫板的動態(tài)性，能夠把數(shù)學(xué)圖形動態(tài)直觀地展現(xiàn)出來，化抽象為具體，化具體為形象，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)學(xué)生的思路，找到解決問題的有效方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

三、鼓勵學(xué)生作出猜想，參與探究

利用幾何畫板的動態(tài)性，可以讓學(xué)生在實驗的基礎(chǔ)上作出猜想，為教師培養(yǎng)學(xué)生探究性地建構(gòu)知識提供環(huán)境，從而讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識，提出猜想的結(jié)論，實現(xiàn)創(chuàng)新。 探究橢圓軌跡

問題2.在問題1研究橢圓的軌跡時，讓學(xué)生進(jìn)一步探究：若改變線段AB的距離，曲線的形狀、大小有什么變化？為什么？學(xué)生可先對曲線的軌跡作出猜想，在紙上畫出曲線的軌跡。然后教師通過拖動A（B）點，改變AB的長度，驗證學(xué)生的猜測。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：若F1、F2的距離不變，AB的長度越大，得到的橢圓越接近于圓；AB的長度越小，得到的橢圓越扁，越接近于線段F1F2；當(dāng)AB的值等于|F1F2|時，其軌跡為一線段，與F1F2重合。

問題3.已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點，半徑為2。從這個圓上任意一點P向x軸作垂線段PP′，求線段PP′的中點M的軌跡。

學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行構(gòu)圖，設(shè)置點P為“動畫”，追蹤點M，得到中點M的運(yùn)動軌跡是橢圓，很容易就完成這個課件的制作。結(jié)論證明將圓按某個方向壓縮（拉長）都可以得到橢圓。

進(jìn)一步探索：若把點P任意縮放，得到點M′，則點M′的軌跡仍是橢圓。

問題4.探究橢圓的第二定義：即到定點的距離與到定直線的距離之比e（0分析：在x軸上任畫兩點E、F，過E作x軸的垂線L，構(gòu)造線段AB、GH（|AB|<|GH|），在線段AB上畫一點C，度量出線段AC、AB，并計算ACAB，在線段GH上畫一點D，度量出GD=a，計算出GDe，構(gòu)造出以點F為圓心，以GD為半徑的圓C1，將直線L按標(biāo)記向量GDe平移得到直線L′，構(gòu)造出直線L′與c1的交點M、N，構(gòu)造出點M、N關(guān)于點D的軌跡即得到所求的橢圓。（隱去不必要的對象，結(jié)果如圖2）

幾何畫板的最大特色是動態(tài)性，使學(xué)生在動態(tài)中觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，體驗知識的形成過程，探究幾何圖形的性質(zhì)。因而，使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。

四、參與教學(xué)過程，進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗

學(xué)生掌握了幾何畫板，可以更好地參與到教學(xué)過程中來，進(jìn)行數(shù)學(xué)實驗，根據(jù)問題的內(nèi)容，展示數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)探索，體驗數(shù)學(xué)的本質(zhì)，探究知識之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找解決問題的方法。

問題5.從橢圓到雙曲線（讓學(xué)生仿照探究橢圓軌跡的方法探究雙曲線的軌跡）。

圖3

在幾何畫板上畫一直線AB，在直線AB上任意畫一點C，再畫兩點F1、F2，使|F1F2|＞|AB|，以F1為圓心線段AC（即r1）為半徑畫圓，以F2為圓心線段BC（即r2）為半徑畫圓，圓F1與F2的交點是M、M′，改變點C的位置，點M、M′的軌跡是雙曲線。

由上面的畫圖過程可以看出，雙曲線是滿足下列條件的點的集合：

P＝｛M｜||MF1|－|MF2||＝2a｝．

我們把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。

在圖3中，|AB|＝2a，|F1F2|＝2c，|AB|＜|F1F2|，a＜c。

根據(jù)上述條件，學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，很容易求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并探究其幾何性質(zhì)。五、自我探索，體現(xiàn)“多元聯(lián)系”

借助幾何畫板所提供的“多元聯(lián)系表示”的環(huán)境，使學(xué)生自我探索，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索出問題的一般規(guī)律，有助于加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。

問題6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：與定點和定直線的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡（ e=ca，當(dāng)01時軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時軌跡為拋物線。）

分析：e的范圍不同，得出的曲線軌跡就不同。如何改變e的值，也就是說改變a，c的值呢？可通過作一角∠AOB，在角的一邊上任取一點A，向另一邊作垂線，垂足為B，設(shè)a=|OA|，c=|OB|，改變角的大小，即可改變a，c的值，e的值隨之變化，從而可探究出不同的曲線軌跡。（可依照問題4的作法）

參考文獻(xiàn)：

[1]方其桂，朱俊杰，陳亞鋒.幾何畫板4.x課件制作百例.北京:清華大學(xué)出版社，2004．