摘 要：混沌是非線性系統(tǒng)的固有現(xiàn)象。電力系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，存在著復(fù)雜的混沌振蕩，它威脅著系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行。本文利用混沌控制方法之一——延遲反饋法(DFC)控制電力系統(tǒng)混沌振蕩，利用Melnikov方法確定延遲時(shí)間和反饋系數(shù)。數(shù)字仿真結(jié)果表明，選擇適當(dāng)?shù)难舆t時(shí)間和反饋系數(shù)能夠鎮(zhèn)定系統(tǒng)的不穩(wěn)定周期軌道(UPO)、消除混沌，并能使系統(tǒng)從失穩(wěn)狀態(tài)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。由于不需要外加參考信號(hào)，延遲時(shí)間與UPO的周期無關(guān)，不必是UPO周期的整數(shù)倍，所以該方法簡單易行。 關(guān)鍵詞：混沌振蕩；延遲反饋控制；電力系統(tǒng)穩(wěn)定性

CONTROLLING POWER SYSTEM CHAOTIC OSCILLATION BY TIME-DELAYED FEEDBACK

ABSTRACT: Chaos is an inherent phenomenon of nonlinear systems. Power system is a typical nonlinear system where complicated chaotic oscillations exist and threaten the secure and stable operation of power systems. Here， the power system chaotic oscillation is controlled by one of chaotic control ways， i.e.， time-delayed feedback control (DFC)， and the delayed time and gain coefficient are determined by Melnikov’s method. Simulation result shows that choosing proper delayed time and gain coefficient the unstable periodic orbits (UPO) of the system can be ballasted and the chaos can be eliminated， and the system can be changed from unstable to stable. Because the additional reference signal is not necessary， the delayed time is not related to the period of UPO and should not be the integral multiple of the period of UPO， so the presented method is simple and easy to apply. KEY WORDS: Chaotic oscillation；Time-delayed feedback control； Power system stability

1 引言 電力系統(tǒng)是典型的非線性系統(tǒng)，具有復(fù)雜的動(dòng) 力學(xué)行為，如混沌和分岔，它們對(duì)電力系統(tǒng)構(gòu)成了潛在的威脅，已引起國內(nèi)外學(xué)者的高度重視[1]。 混沌是由確定性非線性系統(tǒng)產(chǎn)生、對(duì)初值極為敏感、具有內(nèi)在隨機(jī)性和長期預(yù)測不可能性的往復(fù)非周期運(yùn)動(dòng)。隨著人們對(duì)混沌現(xiàn)象認(rèn)識(shí)的深入，混沌的控制方法應(yīng)運(yùn)而生。自從20世紀(jì)90年代初出現(xiàn)了混沌控制的OGY(Ott，Grebogi，Yorke)法(參數(shù)擾動(dòng)法)以來，混沌控制受到廣泛的關(guān)注，相繼出現(xiàn)了偶然比例反饋(Occasional Proportional Feedback，OPF)、自適應(yīng)控制、線性反饋控制、自控制反饋控制等方法 [2]。在這些方法中，由K. Pyragas提出的延遲反饋控制法(Time-delayed Feedback Control，DFC)具有廣泛的適應(yīng)性，它利用簡單的反饋來鎮(zhèn)定混沌吸引子不穩(wěn)定的周期軌道(Unstable Periodic Orbits，UPO)，既適用于低維系統(tǒng)混沌的控制，也適用于高維系統(tǒng)和無限維延遲微分動(dòng)力系統(tǒng)混沌的控制，甚至可用于時(shí)空混沌的控制[3]。 研究電力系統(tǒng)混沌控制的論文目前尚不多見，文[4]、[5]分別采用變量直接線性反饋和非線性系統(tǒng)的逆系統(tǒng)法控制混沌，但前者需要確定目標(biāo)軌道，后者實(shí)現(xiàn)起來有一定的難度。本文采用延遲反饋控制法研究電力系統(tǒng)混沌控制，它避免了目標(biāo)軌道的確定，控制器簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)。其中的延遲時(shí)間和反饋系數(shù)可通過Melnikov方法來確定。仿真結(jié)果表明，該方法具有較好的鎮(zhèn)定效果。

2 電力系統(tǒng)振蕩的混沌性態(tài)

式中 δ、ω為等值發(fā)電機(jī)的功角和角速度增量；H、D為等值轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和等值阻尼系數(shù)；Ps、Pm為電磁功率和機(jī)械功率；Pe為擾動(dòng)功率幅值；β為擾動(dòng)功率的頻率。 式(1)中，取H=100、Ps=100、D=2、Pm=20、β=1[7]，用MATLAB中的simulink進(jìn)行仿真，圖1、圖2是Pe=27.545和Pe=27.546時(shí)的系統(tǒng)相平面和 曲線。圖1表明當(dāng)擾動(dòng)達(dá)到一定幅度時(shí)系統(tǒng)處在混沌狀態(tài)，其軌道運(yùn)動(dòng)是遍歷的，功率譜密度是頻率的連續(xù)函數(shù)[5]。圖2表明當(dāng)擾動(dòng)幅度Pe再有個(gè)微小增加，系統(tǒng)的δ(t) 將不斷增大，系統(tǒng)失去穩(wěn)定。如何消除上述混沌現(xiàn)象、保證系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行是本文研究的內(nèi)容。

4 延遲時(shí)間τ 和反饋系數(shù)K的確定 為實(shí)現(xiàn)所期望的UPO穩(wěn)定化，在實(shí)驗(yàn)中僅需調(diào)節(jié)延遲時(shí)間τ 和反饋系數(shù)K，但要確定這兩個(gè)參數(shù)并非易事[2]。文獻(xiàn)[8-11]指出延遲時(shí)間τ 必須是UPO周期的整數(shù)倍，文獻(xiàn)[9]還給出了一種控制自治系統(tǒng)混沌時(shí)τ 的計(jì)算方法。然而，文獻(xiàn)[3]根據(jù)Melnikov方法分析延遲反饋控制的機(jī)理，得出τ 不必是UPO周期的整數(shù)倍，它與UPO的周期無關(guān)的結(jié)論，從而給τ 和K的確定帶來方便。下面根據(jù)這一方法，求取利用延遲反饋來控制式(1)描述的系統(tǒng)混沌時(shí)的延遲時(shí)間τ和反饋系數(shù)K。 這樣，便可應(yīng)用Melnikov函數(shù)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。當(dāng)ε=0時(shí)，Hamilton系統(tǒng)為 其Hamilton量(或稱Hamilton函數(shù))為 式(7)是一能量函數(shù)，代表等值發(fā)電機(jī)的動(dòng)能，1-cosx 代表勢能，h代表能量常數(shù)。 式(6)的中心點(diǎn)為(0，0)，并有點(diǎn)p1=(-π，0)和點(diǎn)p2=(π，0)粘合而成的雙曲鞍點(diǎn)。當(dāng)h=2時(shí)，存在兩條聯(lián)結(jié)雙曲鞍點(diǎn)的同宿軌道，其參數(shù)方程為[12] 則式(5)描述系統(tǒng)的Poincaré映射在不動(dòng)點(diǎn)p1的不穩(wěn)定流形與不動(dòng)點(diǎn)p2的穩(wěn)定流形將橫截相交。 對(duì)于，其Melnikov函數(shù)為 如果 則系統(tǒng)(5)的Poincaré映射在不動(dòng)點(diǎn)p1的穩(wěn)定流形與不動(dòng)點(diǎn)p2的不穩(wěn)定流形將橫截相交。如果系統(tǒng)參數(shù)同時(shí)滿足式(10)和式(12)，即 如果選擇參數(shù)τ和K不滿足上述關(guān)系，則混沌產(chǎn)生的條件被破壞，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不再橫截相交，從而消除混沌。而且，延遲時(shí)間τ 不必是UPO周期的整數(shù)倍，它與UPO的周期無關(guān)。 從 Ψ(τ1)曲線(如圖4所示)可知，當(dāng)τ1≥0.013s時(shí)，延遲反饋的作用明顯，較小的反饋增益可獲得較好的控制效果。

6 結(jié)論 延遲反饋控制可以鎮(zhèn)定電力系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)，它取當(dāng)前信號(hào)與τ 時(shí)間以前的輸出信號(hào)之差作為反饋信號(hào)的來源，無需外加參考信號(hào)。由于延遲反饋產(chǎn)生一個(gè)作用明顯的擾動(dòng)項(xiàng)，使得穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形不再橫截相交，從而達(dá)到控制混沌的目的。 在控制電力系統(tǒng)混沌振蕩時(shí)，不需要對(duì)系統(tǒng)模型中的所有方程施加延遲反饋，反饋增益矩陣可以是奇異的。延遲時(shí)間τ不必是UPO周期的整數(shù)倍，它與UPO的周期無關(guān)。所以，本文提出的方法簡單有效，用簡單的模擬電路即可實(shí)現(xiàn)[11]。

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