水資源分配的研究
李占海
論文關鍵詞： 線性規劃logistic模型平均分配
論文摘要：為了研究20個城市的分配水問題，首先我們假定生活，工業以及綜合服務業用水的增長率保持不變，然后使得每個城市個人生活用水標準都一樣，這樣可根據人口加權計算，即生活用水（r為2010年個城市的人口，Q為總的掉水量110億立方米， 為第i個城市生活用水），為了讓北方的經濟發展盡量的快，我們在此把總的經濟效益當成目標函數，由此得第一種模型，然而考慮到污染的問題，設每種水的污染程度不同然后減掉污染情況，我們采用單位體積污染水的凈化成本來衡量每種水的污染程度，由此三者對單位體積的水所帶來的污染程度（污染后單位體積的水的凈化費用）分別記為
，則總的污染損失 最后得到第二種模型的目標函數
結果證明這種方法能夠有效快速的算出分配水的方案。
一. 問題的提出
水利工程建成后，預計2010年年調水量為110億立方米，主要用來解決沿線20個大中城市的生活用水、工業用水和綜合服務業的用水，分配分別為40%、38%和22%。這樣可以改善該地區的生態環境和投資環境，推動經濟發展。用水指標的分配總原則是：改善區域的缺水狀況、提高城市的生活水平、促進經濟發展、提高用水效益、改善城市環境。根據2000年的統計數據，各城市的人口數量差異大，基本狀況和經濟情況也不相同，各城市現有的生活、工業和綜合服務業的用水情況不同，缺水程度也不同（如表所示）
表一 2000年的基本情況
0.44 11.8 160 250 10.2 164 180 155 165 148 202
0.44
11.8
160
250
10.2
164
180
155
165
148
202
二. 問題的分析
2.1關于背景的分析
我國是一個水資源短缺且分布很不均勻，南方地區水資源較為豐富，占到全國的80%以上，而處于干旱半干旱的北方地區，水資源十分匱乏，許多學者調研提出要徹底解決中國北方水資源短缺的問題，不需采取跨流域調水，即“南水北調，南水北調工程2002年末正式動工，此舉將極大化解北方城市的供水壓力，在為工業服務業提供水資源的同時，也將大大提高居民的生活和城市環境，它不僅可以長生巨大的經濟效益，而且其長遠的社會和生態效益更無法估量。
2.2問題一分析
要綜合考慮各種情況，給出2010年每個城市的調水分配指標，使得各城市的總用水量情況盡量均衡，我們考慮讓每個城市都能供上足夠的水，首先假設110噸全部用來解決這20個城市的用水問題（其中包括生活用水，工業用水及其服務業用水），“盡量均衡”的意思就是說讓更需要水的城市多得到供水。由此為了更好的分配110噸水資源我們分別預測2010年的人口，工業情況以及服務業情況，再假設人均生活用水量，萬元，服務業用水，萬元工業增加值用水，均保持不變，即可預測生活用水，工業用水及其服務業用水的情況，再根據相加求和即可得到該城市總用水量，再根據求權重依次分配。
2.3問題二分析
由于各城市的基本狀況和自然條件不同，對相同的供水量所產生的經濟效益不同，從經濟效益的角度，要注意到，每個城市的工業和綜合服務業的發展受產業規模的限制，不可能在短時間內無限制的增長這一特點，我們采用logstic模型進行分析。工業產值及其服務業均可用灰色系統模型進行預測。
三. 模型的建立
3.1預測2010年人口的模型
3.1.1模型的假設
1）假設各個城市人口自然增長率保持不變。
2）假設個個城市間人口數相對平衡，相互獨立，互不影響。
3.1.2符號說明
1）x（t）為第t年某個城市的人口數
2) r（x）為自然增長率， 是自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量。
3.1.3模型的建立
于是有：
（1）
對的一個最簡單的假定是，設 為的線性函數，即
（2）
設自然資源和環境條件所能容納的最大人口數量，當 時人口不再增長，即增長率，代入（2-2）式得 ，于是（2-2）式為
（3）
將（2-3）代入方程（2-1）得：
（4）
解方程（2-4）可得：
（5）
3.1.4模型的求解
為了對以后一定時期內的世界人口數做出預測，我們首先根據所給的數據依次求的全部城市的人口數。記為x=x（i，t）為第i個城市在第t年的人口。
將2000年看成初始時刻即 ，則2001為，以次類推，以2010年為t=10作為終時刻。用函數（5）對表3.1.1中的數據進行非線性擬合，運用Matlab編程得到相關的參數，可以算出可決系數（可決系數是判別曲線擬合效果的一個指標）：
3.2預測2010年工業總產值和服務業總產值的logstic模型
3.2.1模型假設
1）工業產值和服務業產值也按logistic模型增長。（經過大量的資料證明工業產值和服務業產值的增長率在前面是逐漸的變大，后逐漸變小這符合logstic模型的增長趨勢。）
3.2.3模型的建立
把上面第i個城市第t年的工業產值和服務業產值分別記為I(i，t) {industry}S（i，t）[]，則把第i個城市的人口增長模型中的x（t）改寫成工業總產值和服務業總產值的logstic模型。
3.3綜合調水問題
3.3.1模型的假設
1）個城市之間相互獨立互不影響。
2)假設個城市人口，工業產值，服務業產值增長率保持不變。人口用水量不隨時間變化，工業萬元增長用水不變和服務業萬元用水不變。
3）水只能一次性利用，不考慮循環利用。
4）個城市都處于缺水狀態，都從外地調水，之間并不存在互不調水的問題。
3.3.2符號約定
3.3.3模型一的建立
為了使最大限度的使該地區的經濟達到快速發展即
已知生活用水，工業用水以及服務業用水分配時所占的比例0.4，0.38，0.22
所以得
我們將人的生活用水按個城市所占人口平均分配，即
設人均產值為k則
（其中x為工業產值，y為綜合服務業產值，rwei人口數）
設第i個城市的人均產值增加為
則
令 為第i個城市在第n年的人均產值
（式中的n不是次方，而是第n年的含義）
設c為貧富差距， （一常數）為起初的貧富差距
貧富差距C定義為
為了不使貧富差距拉大我們要求
則得到一個規劃問題
目標函數：
然而，我們考慮到居民日常生活用水，工業用水以及綜合服務業對水的污染程度有所不同，我們的出了第二個模型 如下<<"年世界人口總是："<<
3.3.4模型二的建立
三者對單位體積的水所帶來的污染程度（污染后單位體積的水的凈化費用）分別記為，則總的污染損失
第i個城市的總污染程度記為則
目標函數則為
即
設 （其中除去污染因素損失的凈經濟效益）
則優化模型改寫為
四. 模型的求解
4.1生活用水的分配
生活用水我們按人數平均分配已知生活水的比例0.40，則
根據得出下表如下：
表一.生活用水（ ）分配方案表
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 1463 852 80.9 97.9 165.3 89.6 172.9 69.6 112.8 109.4 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 20.1 58.2 55.6 93.5 265 92.3 115.2 40.6 72.3 142.4 4.2工業及綜合服務業用水分配按照2000年的發展情況根據logstic模型，容易得到不調水情況下的人均收入k（表三）
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
1463
852
80.9
97.9
165.3
89.6
172.9
69.6
112.8
109.4
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
20.1
58.2
55.6
93.5
265
92.3
115.2
40.6
72.3
142.4
表三 不調水情況下人均收入
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 14.5 27.2 80.9 76.5 165.3 89.6 52.9 89.6 222.8 36.4 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 20.1 58.2 35.6 13.5 39 22.3 31.2 80.6 39 42.4
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
14.5
27.2
80.9
76.5
165.3
89.6
52.9
89.6
222.8
36.4
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
20.1
58.2
35.6
13.5
39
22.3
31.2
80.6
39
42.4
取
表四 全國污水處理收費（此部分資料來自網絡）
用水類型 生活用水 工業用水 綜合服務業取值 處理費 0.15 0.2 0.8
用水類型
生活用水
工業用水
綜合服務業取值
處理費
0.15
0.2
0.8
得出的結果如下：
表五工業及綜合服務業用水分配（單位：億立方米）
城市 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 工業 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 3.89 服務 10 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 2.5 城市 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 工業 1.72 0.53 4.97 2.94 0.1 3.49 5.14 5.22 3.91 8.99 服務 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
城市
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
工業
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
3.89
服務
10
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
2.5
城市
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
工業
1.72
0.53
4.97
2.94
0.1
3.49
5.14
5.22
3.91
8.99
服務
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
五. 模型檢驗及其結果分析
5.1模型的檢驗
隨著時間的增長我們發現人均產值在變小，人民生活用水質量不會差異很多，貧富差距會越來越小。
5.2模型結果分析
結果較為準確，到2010年20個城市工業調水最多的是第20個城市
六. 模型優缺點分析
6.1模型的及其不足之處之處
模型一中按城市人口平均分配生活用水，雖然有所不足，但是能化簡問題，使問題得到了很好的解決。
模型一可以看成模型二的特例，當 很小時，可以忽略。 的值要具體分析應用，由于地域不同可能會不一樣。
模型沒有考慮增速變化的情況，而且沒有考慮水資源的循環利用問題，在全國實行科學發展觀的今天我相信 的值會越來越小。
6.2模型的優點
1） 用logstic模型人口，預測工業和服務業較為準確，因為增長率按照時間在降低，就像美國的經濟一樣，總有一天會出現停滯狀態，也就是說增長了最后會變成0，但是不是說絕對的這只是一個階段的變化而已。
2） 本模型考慮了環境污染的問題，用單位體積凈化的成本來表述污染的程度，此處為本模型創新之處。
七. 模型的改進
7.1關于2010年個數據的預測
可以用灰色系來預測2010年的工業產值及其綜合服務業總產值，由于計算復雜所以采用簡單的logstic預測。
7.2關于線性規劃模型
計算過程中遇到了的 的大小，可已經一步修正。
7.3運算運用矩陣
可以用matlab7.0直接求出二十個城市的情況。
[1]姜啟源等，數學建模（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003
[2]鄭錬，當代數學若干理論和方法[M].上海：華東理工大學出版社2002
[3]中國水利資源公報2009.http://www.cws.net.cn/WaterRes/2009
[4]劉昌明，21實際中國水文科學研究的新問題新技術和新方法[M]，2004
[5]邢飛等，“南水北調“水的分配方案[JA]，北京：東北水利水電報（第25卷271期）2007
附錄
1.人口預測程序
#include "iostream.h"
#include "math.h"
#define N 10 // 定義符號變量以提高程序的普遍應用性
#define X 1285
#define XM 639.5
#define R 2.04
double peoplenumber(int n)//定義人口預測函數
{double x;
x=XM/(1+(XM/X)*exp((R)*n)); //預測函數
return x;
}
void main()
{int i，j(0);
double p[N];
for( i=0;i< P>
{j=j+1;
p[i]= peoplenumber(j);} //預測人口數存入數組，調用人口預測函數
cout<<"人口預測logistic阻滯增長模型預測結果："<< P>
for(i=9;i< P>
cout<<"第"<
