摘要：國內水利水電工程建設目前正處于前所未有的蓬勃發展時期，許多低水頭徑流式水電站建設逐步在我國的江河上興建，其中燈泡貫流式水電站由于流道平坦，機組過流量大、單位轉速高、效率高、尺寸小、重量輕、能量及經濟指標好等優.點成為目前比較普遍的一種開發型式。然而，由于燈泡貫流式水電站廠房獨特的布置型式，致使應力分布有不同于常規水電站廠房的特點，特別是在高地震烈度區修建的燈泡貫流式水電站。因此，本項目的研究分析具有十分重要的現實意義。

關鍵詞：燈泡貫流式水電站 靜 動力計算分析 有限元

2 有限單元方法及靜動力分析理論

2.1 引言

在科學技術領域內，對于許多力學問題和物理問題，都可以歸結為在定邊界條件下求解其控制方程、常微分方程或者偏微分方程的問題。但是能夠采用解析方法求出精確解的只是少數方程性質比較簡單、幾何形狀相當規則的問題。對于大多數的工程技術問題，由于方程的某些非線性特征，或者由于求解區域的幾何形狀比較復雜，則不能夠得到解析的答案。這類問題的解決通常有兩種途徑。一是引入簡化假設，將方程和幾何邊界簡化為能夠處理的情況，從而得到問題在簡化狀態下的解。但是這種方法只在有限的情況下是可行的，因為過多的簡化可能導致誤差很大甚至錯誤的解答。另一種途徑是保留問題的復雜性，利用數值計算方法求得問題的近似數值解，隨著電子計算機的飛速發展和廣泛使用，已逐步趨向于采用這種方法來求解復雜的工程實際問題。而有限單元法便是解決這些復雜工程問題的一個比較新穎并且十分有效的數值方法[54]。

有限單元法的基本思想早在二十世紀四十年代初期就有人提出，但真正用于工程中則是在電子計算機出現以后。“有限元單元法”這一名稱是1960年美國的Clough.R.W在一篇名為“平面應力分析的有限元法”論文中首先使用的。40年來，隨著現代力學、計算數學和計算機技術等科學的日益發展，有限元法的理論和應用都得到了迅速、持續的發展。有限單元法是目前工程技術領域中實用性最強，應用最為廣泛的數值方法，它的應用已由彈性力學平面問題擴展到空間問題、板殼問題，由靜力平衡問題擴展到穩定問題、動力問題和波動問題；分析對象從彈性材料擴展到塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料等；從固體力學擴展到流體力學、傳熱學、電磁學等領域；在工程分析中的作用已經從分析和校核擴展到優化設計和計算機輔助設計相結合，成為科學研究和工程計算的一種最重要的方法。

有限單元法的基本思想是將連續的求解區域離散為一組有限個、并且按一定方式相互聯接在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯接方式進行組合，而且單元本身又可以有不同形狀，因此可采用有限個單元對幾何形狀復雜的求解域進行離散。有限單元法作為數值分析方法的另一個重要特點是利用每一個單元內假設的近似函數來分片地表示整個求解域上待求的未知場函數。單元內的近似函數通常由未知場函數或者及其導數在單元的各個結點的數值和其插值函數來表示。這樣，該問題的有限元分析中，未知場函數或者及其導數在各個結點上的數值就成為新的未知量（即自由度），從而使一個連續的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。一經求解出這些未知量，就可以通過插值函數計算出各個單元內場函數的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。顯然隨著單元數目的增加，也即單元尺寸的縮小，或者隨著單元自由度的增加以及插值函數精度的提高，解的近似程度將不斷改進。如果單元滿足收斂要求，近似解最終將收斂于精確解。

有限單元法的實現必須通過計算機[55]。全部有限單元法的計算原理和數值方法集中反應在有限單元法的程序中，因此有限單元法的程序極為重要。60年代末70年代初，隨著有限單元法的日益成熟和計算機技術的發展，出現了大型通用有限元程序。到80年代初期，國際上較大型的面向工程的有限元通用程序達到幾百種，其中著名的有ANSYS、NASTRAN、ASKA、ADINA、SAP等。它們多采用 FORTRAN 語言編寫，規模達幾萬條甚至幾十萬條語句，其功能越來越完善，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且帶有功能強大的前處理和后處理程序。由于這些有限元程序功能強、使用方便、計算精度高、效率高，其計算結果已成為各類工業產品設計和性能分析的可靠依據。目前，大型通用有限元分析程序通過不斷吸收計算方法和計算機技術的最新成果，將有限元分析、計算機圖形學和優化技術相結合，已經成為解決現代工程問題必不可少的有力分析工具利用有限元分析程序。

利用有限元分析軟件，人們可以對結構進行分析和優化設計，解決常規設計難以解決的問題，在產品設計的早期階段就能預測可能出現的故障，從而提高產品設計質量降低產品開發成本，縮短產品設計和分析的循環周期，提高產品和工程的可靠性，減少設計成本。

2.2有限單元法的基本概念[54，55]

有限單元法的基本思想是將問題的求解域劃分為一系列單元，單元之間僅靠節點連接。單元內部點的待求物理量可由單元節點物理量通過選定的函數關系插值求得。由于單元形狀簡單，易于由平衡關系或能量關系建立節點之間的方程式，然后將各個單元方程“裝配”在一起形成總體代數方程組，加入邊界條件后即可對方程組求解。

有限單元法分析計算基本思路可以歸納如下：

（1）物體離散化

首先將某個工程結構離散為由各種單元組成的計算模型，然后利用單元的節點將離散后的單元與單元相互連接起來。單元節點的設置、性質、數目等應根據問題的性質描述變形形態的需要和計算精度而定。一般情況下，單元劃分越細則描述變形情況越精確，越接近實際變形，但是這樣計算量也越大。所以，有限元法中分析的結構已經不是原有的連續物體或者結構，而是同樣材料的眾多單元以一定方式聯接成的離散體。 因此，有限元分析計算所獲得的結果只是近似解。如果劃分的單元數目足夠多且又合理，則所獲得的結果就與實際情況相符合。

（2）單元特性分析

①選擇位移模式

從選擇基本未知量的角度來看，有限元法可以分為三類：位移法、力法和混合法。位移法易于實現計算自動化，所以在有限元法中應用范圍最廣。

采用位移法時，物體或結構離散后，就可把單元中的一些物理量如位移、應變和應力等用節點位移來表示。這時可以對單元中位移的分布采用一些能逼近原函數的近似函數來描述。通常，有限元法中我們將位移視為坐標變量的簡單函數，這種函數稱為位移模式或位移函數。

②分析單元的力學性質

根據單元的材料性質、形狀、尺寸、節點數目、位置及其含義等，找到單元節點力和節點位移的關系式，這是單元分析中的關鍵一步。此時需要應用彈性力學中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式， 推導出單元剛度矩陣，這是有限元法的基本步驟之一。

③計算等效節點力

物體或者結構離散后，假設力是通過節點從一個單元傳遞到另一個單元的。但是對于實際的連續體，力是從單元的公共邊界傳遞到另一個單元中去的。因而，作用在單元邊界上的表面力、體積力或者集中力都需要等效地移到節點上去，也就是用等效的節點力來代替所有作用在單元上的力。

（3）單元組集

利用結構力的平衡條件和邊界條件把各個單元按原來的結構重新連接起來，形成整體的有限元方程：

式中Ｋ是整體結構的剛度矩陣；ｑ是節點位移列陣；ｆ是載荷列陣。

（4）求解未知節點位移

解有限元方程式Ｋｑ＝ｆ得出結構。這里，可以根據方程組的具體特點來選擇合適的計算方法。

通過上述分析，可以看出，用有限元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進行單元分析，合則是為了對整體結構進行綜合分析。

2.3結構靜力分析的有限單元法[53]

靜力分析是工程結構設計中使用最為頻繁的分析，主要用來求解結構在與時間無關或者時間作用效果可忽略的靜力載荷(如集中/分布靜力、溫度載荷 強制位移、慣性力等)作用下的響應，并得出所需的節點位移、節點力、約束反力、單元內力、單元應力和應變能等。工程結構設計中經常采用靜力分析來分析結構承受極端載荷時的響應，得到相應的最大應變、應力和位移，進而討論結構的強度問題。而且靜力分析同時也可以求解結構的重量、重心以及慣性矩等。

2.3.1結構靜力分析的有限單元法解題步驟

結構靜力分析的有限單元法主要解題步驟可以歸納如下：

（1）單元剖分和插值函數的確定：

根據結構的幾何特性、載荷情況及所有求解的變形點，建立由各種單元組成的計算模型。再按照單元的性質和精度要求，寫出表示單元內任意點的位移函數。

為了求解任意單元節點的位移，可先把所求節點位移假設為坐標的某種函數，這就是選用位移函數的問題。一般情況，可將所求的節點位移表示為坐標的冪函數，即采用多項式的模式。當單元很小時，單元內一點的位移可以通過節點的位移插值來表示。對于線彈性結構，可以將所求節點的位移表示為坐標的線性函數，這種單元的位移函數非常簡單 大大簡化了所討論的問題。

（2-2）

單元內部任意點位移的矩陣形式：

用節點位移表示單元體內部任意點位移的插值函數式：

式中ａ為位移參數，N為位移的形態函數，為節點位移，d為單元內任意點位移根據物理關系。

（2）單元特性分析

根據位移插值函數，由彈性力學中給出的應變和位移關系，可計算出應變為：

相應的變分為：

（2-6）

式中B為應變矩陣。

根據物理關系，得到應變與應力的關系式為得到應變與應力的關系式為：

（2-7）

式中D為彈性矩陣。

由虛位移原理，可得到單元節點力與位移之間的關系式：

（2-8）

式中Ke為單元特性， 即單元剛度矩陣，它可表示為：

（2-9）

（3）單元組集

把各單元按節點組集成與原結構相似的整體結構，得到整體結構的節點力與節點位移的關系。對于線彈性結構，處于小變形范圍內，由彈性力學中的平衡方程、物理方程和幾何方程可以推導出靜力問題中有限單元法的基本方程，即整體結構平衡方程組： f=Kq式中，K為整體結構的剛度矩陣，f為總的載荷列陣q為整體結構所有節點的位移列陣。

對于結構靜力學分析載荷列陣f可包括：

f=fT+fm+fp （2-10）

其中：體積力轉移；表面力轉移；集中力轉移

（4）求解有限元方程

可采用不同的計算方法求解有限元方程。注意在求解之前，必須對結構平衡方程組進行邊界條件處理，然后再求解節點的位移q。

（5）計算應力

如果要求計算結構節點的應變和應力，則在計算出各單元的節點位移后，由式（2-5）和（2-7）即可求出相應節點的應變和應力。

2.3.2結構靜力分析的有限單元分析程序流程

在結構靜力分析中，有限元分析依據離散模型的數據，形成有限元求解方程f=Kq的整體剛度矩K，總的等效節點載荷列陣f，并解方程得到整體結構的節點位移列陣q，其主要過程的一般流程如下：